FIS2001 - LISTA DE EXERCÍCIOS 4

Distâncias astronômicas e Estrelas binárias

1. O que se entende por paralaxe? O que é paralaxe geocêntrica? O que é paralaxe heliocêntrica? Como se pode usar a paralaxe para determinar a distância de um objeto astronômico?

2. Durante uma particular oposição de Marte, esse planeta foi observado simultaneamente de dois pontos do Equador de Terra, um onde ele estava nascendo e outro onde ele estava se pondo. Sua direção entre as estrelas vista dos dois pontos de observação diferiam por 41 $^{\prime\prime}$. Qual era a distância de Marte, um unidades astronômicas, nessa oposição?

   Solução:

   Chamando $D_T$ = diâmetro da Terra:

   $$d=\frac{D_T}{41^{\prime\prime}}$$

   Substituindo o valor do diâmetro da Terra, em quilômetros, e passando segundos de arco para radianos ( $1^{\prime\prime} = 1/206265\,$rad):

   $$d =\frac{12760\,km}{41/206265} = 64\,193\,692\,km$$

   Passando para unidades astronômicas (1 UA = 1,5 $\times 10^8$ km):

   $$\boxed{d = 0,428\, UA}$$

3. Mostre que um parsec é igual a $3,086 \times 10^{13}$ km, e que também é igual a 3,26 anos-luz.

4. Próxima Centauri tem uma paralaxe heliocêntrica de 0,76 segundos de arco.
   1. Qual sua distância em parsecs? Em anos-luz?

   2. Qual seria a paralaxe de Próxima Centauri se ela fosse observada com um telescópio em Marte?
   Solução

   1. $$d = \frac{1}{0,76} = 1,315\, pc = 1,315\,pc \times 3,26\,\, al/pc \Rightarrow \boxed{d = 4,29\, al}$$

   2. Como a distância da estrela a Marte pode ser considerada igual à distância da estrela à Terra, a variação da paralaxe só vai depender da variação do tamanho da linha de base, que é 1 UA no caso da Terra e 1,5 UA no caso de Marte. Como a paralaxe é diretamente proporcional ao tamanho da linha de base, temos:

      $$\frac{p_M}{p_T} = \frac{1,5}{1} \Rightarrow p_M = 1,5\times 0,76^{\prime\prime} \Rightarrow \boxed{d = 1,14^{\prime\prime}}$$

5. Quando em máxima aproximação à Terra, Marte tem uma máxima paralaxe geocêntrica de 23,2 $^{\prime\prime}$. Calcule a distância de Marte à Terra em quilômetros.

6. Astrônomos em Júpiter definiriam sua unidade astronômica em termos da órbita de Júpiter.
   1. Se eles definissem o parsec como nós o fazemos, quantas unidades astronômicas jovianas tal parsec conteria?

      Seja UAJ = unidade astronômica joviana; pcj = parsec joviano

      $$1\,pcj = \frac{1\,UAJ}{1^{\prime\prime}\,(rad)} = \frac{1\,UAJ}{1/206265} = 206265\,UAJ$$

   2. Quantas unidades astronômicas terrestres seria igual a 1 parsec joviano? Como o raio médio da órbita de Júpiter é 5,2 UA (unidades astronômicas terrestres),
      $$1\,pcj = 206265\,UAJ = 206265 \times 5,2 UA =1\,072\,578\, UA$$

   3. Quantos parsecs terrestres (pc) há em 1 parsec joviano (pcj)?
      $$1\,pcj = 206265\,UAJ = 206265 \times 5,2 UA =5,2 \times 206265\,UA = 5,2 pc$$

   4. Qual seria a paralaxe de Próxima Centauri (distância ao Sol igual a 4 anos-luz) se ela fosse observada com um telescópio em Júpiter?
      $$4 anos-luz = \frac{4}{3,26}\,pc = 1,23\,pc$$
      $$p_J= \frac{5,2\,UA}{1,23 pc} = 4,23 ^{\prime\prime}$$

   5. Qual seria a sua distância, em parsecs jovianos?
      $$d(pcj) = \frac{1}{pj(^{\prime\prime}} = \frac{1}{4,23}=0,236$$

7. Para uma certa estrela é medida uma paralaxe de 0,2 $^{\prime\prime}$.
   1. Qual a distância da estrela?
      $$d = \frac{1}{0,2^{\prime\prime}} = 5 pc$$

   2. Se essa estrela tiver uma companheira, a uma distância de 1 UA dela, qual a separação angular entre elas?
      $$\alpha = \frac{1 UA}{ 5 pc} = 0,2^{\prime\prime}$$

8. Mostre que a paralaxe heliocêntrica de uma estrela a 1 kpc de distância é igual ao tamanho de uma pessoa de 2m vista à distância de 400000 km.

9. Quais seriam os períodos de revolução de sistemas binários nos quais cada estrela tem a massa do Sol e os semi-eixos maiores de suas órbitas relativas têm os valores:

   (a) 1 UA (b) 2 UA (c) 20 UA (d) 60 U (e)100 UA

10. Para cada ítem do problema anterior, a que distância as duas estrelas pareceriam ter uma separação angular de $1^{\prime\prime}$?

11. $\xi$ Ursa Maior é um sistema binário cuja órbita tem um semi-eixo maior de 2,5 $^{\prime\prime}$. A paralaxe do sistema é 0,127 $1^{\prime\prime}$, e o período é 60 anos. Qual é a massa do sistema, em massas solares?

    Solução:

    A distância (d) do sistema é:

    $$d = \frac{1}{0,127^{\prime\prime}} = 7,87\, pc$$

    A separação entre as duas estrelas, que é igual ao semi-eixo maior da órbita relativa do sistema (a), em UA, é:

    $$a = 2,5^{\prime\prime\,}\times\, 7,87\,pc = 19,67\,UA$$

    Pela 3.a lei de Kepler temos que a massa do sistema (m$_1$ + m$_2$), em massas solares (M$_\odot$), é:

    $$m_1+m_2 = \frac{a^3}{P^2}$$

    com $a$ em UA em $P$ em anos. Logo:

    $$m_1+m_2 = \frac{19,67^3}{60^2} \Rightarrow \boxed{m_1+m_2 = 2,12\, M_\odot}$$