6.12 BALANCE DE ENERGÍA EN LAS DISTINTAS CONDICIONES

        DE EQUILIBRIO

 

Existen básicamente, aunque no únicamente, dos tipos de condiciones de equilibrio entre la materia y la radiación (dispersión isotrópica y absorción). Suele decirse que la materia está en condiciones de equilibrio radiativo monocromático (ERM) con respecto a la radiación de frecuencia n, cuando sólo es capaz de modificar la distribución angular de la radiación, dispersándola isotrópicamente sin alterar su naturaleza. Esta condición de equilibrio entre la materia y la radiación se conoce modernamente como dispersión isotrópica pura (DIP). Por otra parte, se dice que la materia está en condiciones de equilibrio termodinámico estricto (ETE) cuando puede ser caracterizada por una única temperatura T en toda su extensión. En ETE la frecuencia de los procesos de emisión y absorción es la misma y valen las leyes de Planck, Maxwell, Kirchhoff, Boltzmann y Saha.

 

En el primer caso hemos mostrado que la función fuente Sn es igual a Jn, mientras que en el segundo Sn coincide con la función de Planck B(n,T). Una tercera posibilidad consiste en admitir que una cierta porción de materia se encuentra en condiciones de equilibrio termodinámico local (ETL). Se dice que una atmósfera estelar está en ETL cuando cada capa a profundidad tn está caracterizada por una temperatura T(tn). De acuerdo a esta hipótesis, cada capa irradiará como un cuerpo negro a temperatura T(tn) y serán válidas todas las leyes que regulan el estado de la materia en ETE localmente, en la capa tn. En consecuencia, si existen condiciones de ETL, la función Sn será igual a la función de Planck .

 

Veamos ahora cómo se produce el balance microscópico detallado entre la energía emitida y absorbida en cada uno de los tres casos antes mencionados. En el primer caso (DIP), dado que sólo hay dispersión de la radiación y Sn = Jn, se tiene :

 

                             

                                           

 

Multiplicando ambos miembros de la expresión anterior por dndw, integrando luego en todo el espacio y recordando que  y  no dependen de la dirección por existir dispersión isotrópica, se tiene :

 

 

                                                                   (6.67)

 

 

De la definición del coeficiente de emisión por unidad de masa jn, se advierte claramente que el primer miembro de la expresión (6.67) representa la cantidad de energía emitida por dispersión hacia todo el espacio, dentro del intervalo (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo. Por su parte, el segundo miembro representa la cantidad de energía absorbida por dispersión desde todas las direcciones, dentro del intervalo (n, n + dn), por unidad de masa y tiempo. Dividiendo ambos miembros por la energía hn de uno de los fotones emitidos o absorbidos, resulta :

 

 

                                             ,                                      (6.68)

 

 

en la cual el primer miembro representa ahora el número de fotones emitidos hacia todo el  espacio por dispersión, en el intervalo (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo, mientras que el segundo miembro representa el número de fotones absorbidos por dispersión desde todo el espacio, en el intervalo (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo. Ambos miembros serán iguales a una cierta función W(v)dv que representará la frecuencia de emisiones o absorciones de fotones por dispersión. En este caso se dice que existe balance detallado entre los fotones emitidos y absorbidos por dispersión en cada frecuencia, por unidad de masa y tiempo.

 

En el  segundo caso (ETE), dado que toda la materia está caracterizada por una única temperatura T siendo la emisión planqueana y por ende isótropa, se cumple que

 

.

 

 En consecuencia, de la misma manera que se obtuvo (6.67) se obtiene ahora la expresión :

 

 

                                            ,                                    (6.69)

 

 

en la cual el primer miembro representa la cantidad de energía emitida térmicamente hacia todo el espacio, dentro del intervalo (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo. Por su parte, el segundo miembro de (6.69) representa ahora la cantidad de energía absorbida realmente desde todo el espacio, en las mismas condiciones. Dividiendo miembro a miembro por hn, resulta :

 

                                                                              (6.70)

 

Esta expresión indica que el número de fotones emitidos térmicamente a todo el espacio, en el rango de frecuencias (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo, es igual al correspondiente número de fotones absorbidos en el mismo rango de frecuencias. En este caso, ambos miembros serán iguales a una cierta función F(V)dV que representará la frecuencia de emisiones o absorciones de fotones. También en este caso existe  balance detallado entre la energía emitida y absorbida en cada punto.

Finalmente, si se considera el caso de ETL aparece una diferencia esencial con respecto a los dos casos anteriores. En efecto, es importante destacar que en ETL no se verifica la igualdad

,

aún cuando es válida la ley de Kirchhoff   en cada capa a profundidad tn. Para comprender esto es necesario tener presente que la hipótesis de ETL implica aceptar la existencia de un gradiente de temperatura en la atmósfera estelar. Es decir,  en cada capa se tendrán condiciones de equilibrio termodinámico y la emisión, por unidad de masa y ángulo sólido en cada punto, será la indicada por la ley de Kirchhoff jn/kn = B(n,T), pero la intensidad específica monocromática en cualquier punto no será isótropa ya que dependerá de la dirección q. En efecto, supongamos una serie de capas fotosféricas tal como la esquematizada en la Figura 6-11. Es evidente que en el punto 0 de la capa a temperatura T3, la intensidad específica monocromática In será  distinta en la dirección q = 0° que en la dirección q. Esto se debe al gradiente de temperatura que existe en la atmósfera. La intensidad específica In en la dirección q = 0° resulta de la suma de las contribuciones de las capas más profundas siguiendo la dirección q = 0°, en tanto que la intensidad In en la dirección q, resulta de la suma de las contribuciones de las capas más profundas siguiendo esa determinada dirección. La cantidad en que contribuyen las diferentes capas en las dos direcciones consideradas es notoriamente diferente y, por lo tanto, el campo radiante en el punto 0 no puede considerarse isótropo, siendo en consecuencia . Si hubiese la misma temperatura en toda la atmósfera, In sería igual a Jn en cualquier punto del campo radiante. Tal como hemos explicado, en ETL la emisión de cada capa atmosférica se supone planqueana, por lo que está caracterizada por una cierta  propia de la capa. Sin embargo, la intensidad específica no es isótropa en virtud de la existencia de un gradiente de temperatura y, por lo tanto,  no coincide con Jn(tn).

La cantidad de energía emitida térmicamente a todo el espacio, dentro del rango de frecuencias (n,n + dn), por unidad de masa y tiempo, en el caso de ETL, será :

 

                                                                         (6.71)

 

Además, la cantidad de energía absorbida desde todo el espacio, dentro del intervalo (n,n+dn), por unidad de masa y tiempo, debe ser : 4pknJn(tn) dn. Puesto que Jn(tn) no coincide con B[n,T(tn)] resulta que, al considerar radiación monocromática, no existe equilibrio entre la energía emitida y absorbida en cada punto. Sin embargo, para que se mantenga el estado estacionario (equilibrio radiativo) de la atmósfera, debe existir un equilibrio total entre las cantidades totales de energía emitida y absorbida en cada punto, por unidad de masa y tiempo. Imponer esta condición de estacionariedad implica establecer la siguiente igualdad :

 

                                                           (6.72)

 

La (6-72) se conoce usualmente como ecuación de continuidad y puede escribirse en forma condensada de la siguiente manera :

 

                                             ,                                (6.73)     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Figura6-11: Capasplano-paralelas de una atmósfera estelar

 

 

Si en condiciones de ETL, llamamosF(v)dval número de fotones emitidos en ciertas frecuencias, o bien alnúmero de electrones con velocidades entrevy (v+dv) que se recombinan por unidadde masa y tiempo, y denominamosW(v)dval correspondiente número de fotones absorbidos en esas frecuencias, o bien deelectrones liberados con velocidades entrevy (v+dv), estas distribuciones seescribirán de la siguiente manera :

                                                       (6.74)       

 

                           W(v)dv= 4pknJn(t)dn/hn                                                          (6.75)

 

Como ha sido explicado, al serJn(tn) diferente de B[v,T(tn)]no habrá en este caso balance monocromático detallado de energía y,por consiguiente,F(v)dvserá diferente de la distribuciónW(v)dv.Sin embargo, si se impone la condición de que debe conservarse el número deelectrones libres y el momento total (balance detallado total), entonces debecumplirse la siguiente igualdad :

                                                                                          (6.76)

Para que las áreas involucradas en las integrales de (6.76) seaniguales no obstante no coincidir los integrandos en cada punto (Figura 6-12), es necesario que exista unaredistribución de las velocidades electrónicas por colisiones. Puede probarseque necesariamente las distribucionesF(v) yW(v) deben ser maxwellianas.

 

 

 

 

 

 

 

 


 

                                                      

 

 

Figura 6-12