7 CONTRIBUCIÓN DEL HIDRÓGENO NEUTRO A LA OPACIDAD

CONTINUA

7.1 Procesos ligado-libre

Cada elemento químico contribuye en forma particular al coeficiente de absorción continua. Dado que el hidrógeno es el elemento más abundante en las fotosferas de las estrellas normales, comenzaremos examinando la contribución a la opacidad continua de este elemento. Los procesos que aportan al coeficiente de absorción continua son las transiciones ligado-libre y libre-libre del mencionado elemento.

Comencemos por considerar las transiciones radiativas ligado-libre del hidrógeno neutro. Para que dichas transiciones puedan ocurrir es necesario proporcionar al átomo una energía hn suficientemente grande como para liberarlo de su único electrón. Si 

es la constante de Rydberg, se desprende que la energía del nivel discreto con número cuántico principal n, ligado al átomo de hidrógeno (Z = 1), es

. Si un electrón en ese nivel absorbe un fotón de energía hn y se libera del átomo con una velocidad v, resulta :

, (10.21)

en la cual el primer miembro es la energía cinética del electrón y R = 1.0968x10⁵ cm^-1 para el átomo de hidrógeno.

Hemos visto que el potencial de ionización del hidrógeno neutro es 13.6 eV. Ésta es la energía mínima necesaria para arrancarle al átomo su único electrón desde el nivel fundamental. En otras palabras, el potencial de ionización del hidrógeno neutro es la energía que es necesario suministrar al átomo para arrancarle su único electrón desde el nivel fundamental y de manera tal que dicho electrón se libere con energía cinética nula. De (10.21) se deduce que I = hRc, cantidad ésta que para el átomo de H equivale a 13.6 eV. Por consiguiente, sólo aquellos fotones con energías mayores que 13.6 eV estarán en condiciones de producir transiciones radiativas ligado-libre desde el nivel fundamental del átomo de H. Dado que la longitud de onda asociada a un fotón con esta energía es l_L = hc/13.6 eV = 912 Å, todos los fotones con energías mayores que 13.6 eV, o bien con longitudes de onda asociadas menores que 912 Å, estarán en condiciones de fotoionizar al hidrógeno desde el nivel fundamental. Esta l_{L =} 912 Å representa el límite de la serie de Lyman.

De (10.21) se desprende además que para ionizar el átomo de H desde el nivel n = 2 se requiere una energía hn = I/4 = 3.40 eV. La longitud de onda asociada a esta energía es ahora l_B = hc/3.40 eV = 3647 Å (límite de la serie de Balmer), de manera que todos los fotones con l £ l_B tendrán energías suficientes como para producir transiciones radiativas ligado-libre del átomo de H neutro desde el segundo nivel (n = 2) y asi sucesivamente para las diferentes series espectrales. Los límites de las series de Paschen, Brackett y Pfund corresponden a las longitudes de onda 8206 Å, 14588 Å y 22790 Å, respectivamente.

Nuestro problema consiste en obtener una expresión del coeficiente a en cm² por absorbedor, para el H neutro. Kramers (1923) consideró un átomo hidrogénico con un electrón moviéndose en el campo de la carga Ze, en una órbita cuyo número cuántico principal es n. Haciendo uso de la Física Clásica y para el caso Z = 1, el mencionado autor obtuvo una expresión para el coeficiente . Gaunt (1930) modificó levemente la derivación de Kramers usando la Mecánica Cuántica y obtuvo :

, (10.22)

en la cual e = 4.803x10^-10 u.e. es la carga del electrón y un factor de corrección, conocido como factor de Gaunt para las transiciones ligado-libre, el cual hace coincidir la expresión de Kramers obtenida a partir de la Física Clásica, con los resultados rigurosos obtenidos a partir de la Mecánica Cuántica. La (10.22) se conoce como fórmula de Kramers-Gaunt.

En términos de la longitud de onda la expresión anterior puede escribirse como :

, (10.23)

o bien en forma simplificada :

, (10.24)

siendo y estando l expresada en angstroms.

El factor de Gaunt depende básicamente de n y de l, en general difiere poco de la unidad y, de acuerdo a Menzel y Pekeris (1935), puede calcularse de la expresión :

(10.25)

Nótese de (10.24) que, dentro de cada banda de absorción (fijado n), el coeficiente a_n aumenta proporcionalmente con la tercera potencia de la longitud de onda. Asimismo, para una determinada longitud de onda, el coeficiente de absorción decrece proporcionalmente a 1/n⁵. Esto significa que el coeficiente de absorción de un átomo de H altamente excitado es considerablemente menor que el de otro levemente excitado. Como el número de órbitas en el átomo de H es infinito, el número de las bandas de absorción también es infinito y cada una de ellas contribuirá a la absorción en una determinada longitud de onda. Las bandas con n = 1, 2, 3, ..., ¥ corresponden a la fotoionización del átomo de H desde los niveles 1, 2, 3, ..., ¥.

En las frecuencias correspondientes a los límites de ionización, donde la energía cinética del electrón liberado se anula, la ecuación (10.21) implica :

, (10.26)

en la cual representa la frecuencia correspondiente al límite de ionización. Dado que , de (10.24) y (10.26) resulta :

, (10.27)

en la cual representa el valor del coeficiente correspondiente al límite de ionización. La (10.27) muestra que aumenta proporcionalmente con n.

La Figura 10-3 ilustra la variación del coeficiente en términos de la longitud de onda. Las unidades se han elegido de tal manera que

en l = 100 Å y n = 1. Hay pues una curva para cada n y a su vez cada una de estas curvas aumenta con el cubo de la longitud de onda según expresa (10.24). Además, las ordenadas correspondientes a los extremos de cada curva aumentan en forma proporcional a n según indica (10.27). Sólo se ilustran en la figura las curvas correspondientes a los primeros 4 niveles y parte del coeficiente de absorción correspondiente a n = 5. La influencia de los factores de Gaunt no ha sido considerada en la figura. Si se desea conocer el coeficiente de absorción del H neutro en una determinada longitud de onda, 6000 Å por ejemplo, deben sumarse las contribuciones correspondientes a n = 1, n = 2, n = 3, etc. En este caso particular, sin embargo, la contribución n = 6 y restantes resultan prácticamente despreciables, en tanto que las correspondientes a n = 1 y n = 2 son nulas.

Hemos pues obtenido , coeficiente de absorción continua del átomo de H neutro en cm² por absorbedor, debido solamente a las transiciones ligado-libre de este elemento. Nuestro propósito, sin embargo, es obtener el coeficiente másico de absorción k_n en cm² por gramo de materia estelar, para lo cual será necesario calcular primero , el coeficiente de absorción continua del H expresado en cm² por átomo de H neutro. En este contexto, átomos de H neutro con diferentes estados de excitación son obsorbedores diferentes. Para obtener el coeficiente debemos sumar sobre n los productos de por la fracción, respecto del total de átomos de H neutro, de absorbedores de cada nivel. Es decir :

, (10.28)

en la cual es el número de absorbedores (átomos de H neutro) en el nivel n por unidad de volumen, N el número total de átomos de H neutro por unidad de volumen y n₀ representa el nivel más bajo a partir del cual comienzan las contribuciones al coeficiente . Para l = 9000 Å, por ejemplo, n₀ = 4 (Figura 10-3), ya que para esa longitud de onda no hay contribución para los tres primeros valores de n.