2.1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE EL EQUILIBRIO TERMODINÁMICO

Objetivo: Queremos describir los espectros estelares

Sabemos que existen diferentes clases de espectros

Para conocer el estado de la materia en situaciones de interés astrofísico necesitamos conocer las poblaciones relativas de los distintos niveles de energía de los átomos, la fracción de átomos una o más veces ionizados, la cantidad de moléculas existentes con respecto al número de átomos, la distribución de velocidades de todas estas especies mencionadas y, además, debemos conocer la distribución de la radiación en función de la longitud de onda. 

Nuestro interés está centrado en atmósferas de estrellas normales en un rango de temperaturas comprendido entre 2.000 °K y 45.000 °K aproximadamente. Estamos además interesados en describir atmósferas en estado estable, sin turbulencia ni escape o eyección de materia.

Conviene destacar que un estado estacionario no implica necesariamente equilibrio térmico. En efecto, en las atmósferas estelares que consideraremos, las condiciones no cambian por largos períodos de tiempo y, en ese sentido, se dice que se encuentran en estado estacionario. Pero ocurre que en las atmósferas de las estrellas existen gradientes de temperatura y, por lo tanto, ellas no se encuentran en equilibrio térmico.

¿Cómo es posible imaginar un sistema en equilibrio térmico? Simplemente como una cavidad hipotética con un gas en su interior y cuyas paredes se encuentran a una temperatura T constante. En esas condiciones los átomos dentro de la cavidad se moverán rápidamente chocando unos con otros. Estos átomos absorberán fotones emitidos por las propias paredes de la cavidad y a su vez emitirán energía. Perderán y recapturarán electrones. Dejando que el sistema evolucione por un tiempo suficientemente prolongado, se llegará a una situación en la cual cada proceso es balanceado exactamente por el proceso inverso. Cada colisión en la cual un electrón cede energía a un átomo para excitarlo a un cierto nivel, es balanceada por un encuentro en el cual un átomo excitado se desexcita cediendo energía a un electrón. Por otro lado, cada ionización desde un cierto nivel se compensa con la correspondiente recombinación al mismo nivel. Así sucede con todos los procesos físicos posibles. 

Cuando un conjunto de partículas alcanza este estado en el que cada proceso es balanceado por su proceso inverso, se dice que se encuentra en condiciones de Equilibrio Termodinámico Estricto (ETE) con la radiación.

Suele expresarse también que en dicho sistema existe balance detallado de energía. Si a la cavidad hipotética de la que hablamos se le practica un pequeñísimo orificio en una de las paredes, la energía radiante que podrá escapar, aunque insignificante, permitirá tener una idea del tipo de radiación proveniente de la cavidad. Rigurosamente hablando el ETE es un estado al que se aproximan ciertos cuerpos pero que nunca llega a ser completamente alcanzado. En dicho estado son válidas las leyes de Boltzmann, Saha, Maxwell, Planck y la ley de disociación molecular. Estas leyes describen completamente el estado de la materia en equilibrio termodinámico estricto.

2.2 EMISIÓN Y ABSORCIÓN EN EQUILIBRIO TERMODINÁMICO.

LEY DE KIRCHHOFF

Es bien sabido que todo cuerpo, cualquiera sea su naturaleza o geometría, emite energía en forma de radiación electromagnética. Cuanto más caliente es el cuerpo, mayor cantidad de energía emite. La emisión de radiación es en realidad el resultado de un gran número de procesos radiativos microscópicos originados en la interacción de las partículas elementales de las que está formado el cuerpo. La radiación emitida por un cuerpo no debe confundirse con la radiación reflejada por el mismo y que lo hace visible. Una persona es esencialmente visible por la luz que refleja y no por la radiación que emite (radiación infrarroja). Al mismo tiempo, todo cuerpo, cualquiera sea su naturaleza, absorbe parte de la radiación electromagnética que sobre él incide. Precisamente, se denomina poder absorbente de un cuerpo al cociente entre la radiación absorbida y la incidente sobre el cuerpo. El poder absorbente varía entre cero y uno; es la unidad si el cuerpo absorbe totalmente la radiación que sobre él incide, sin reflejar ni transmitir nada. En ese caso el cuerpo se denomina cuerpo negro o radiador ideal. Obviamente que no existen en la naturaleza cuerpos con las características del cuerpo negro. Los cuerpos recubiertos de una capa de negro de humo o de negro de platino tienen un poder de absorción próximo a la unidad sólo en un intervalo limitado de longitudes de onda. En el infrarrojo lejano, sin embargo, sus poderes de absorción son significativamente menores que la unidad.

La experiencia demuestra que la capacidad de emisión de un cuerpo está relacionada con su poder absorbente.

 En efecto, supongamos un conjunto de cuerpos C₁, C₂, C₃,... incluidos dentro de una cavidad, la cual se mantiene a una determinada temperatura T constante. Supongamos además que dentro de la cavidad se ha hecho el vacío, de manera que los cuerpos sólo puedan intercambiar energía entre sí o con la cavidad mediante emisión y absorción de fotones. La experiencia demuestra que al cabo de un cierto tiempo, el sistema de cuerpos C_i alcanza el equilibrio térmico, esto es, todos adquieren la misma temperatura T, igual a la de la cavidad. Para que esto ocurra, es necesario que cada cuerpo con una capacidad de emisión mayor (por unidad de tiempo y de superficie) ceda energía a aquél con menor capacidad de emisión. Se deduce entonces que este último cuerpo sólo podrá encontrarse a una temperatura T constante, igual a la de los restantes cuerpos, sólo si posee también un mayor poder absorbente. Luego, de la posibilidad del establecimiento del equilibrio termodinámico entre cuerpos que sólo pueden intercambiar energía por emisión y absorción de fotones, se deduce la necesidad de que exista proporcionalidad entre los poderes emisivo y absorbente de los cuerpos.

Hemos dicho que todo cuerpo emite y absorbe radiación. Ambas propiedades, emisión y absorción, dependen de la longitud de onda y de la temperatura del cuerpo. En 1859 Kirchhoff dió una prueba experimental y matemática de la siguiente ley que lleva su nombre: 

en condiciones de equilibrio termodinámico, la relación entre el poder emisivo y el poder absorbente, es para todos los cuerpos una misma función de l y T.

Esta relación es igual al poder emisivo del cuerpo negro para dicha l y T. Es decir que si e₁(l,T), e₂(l,T), ..., e_n(l,T) representan los poderes emisivos de varios cuerpos y A₁(l,T), A₂(l,T), ...A_n(l,T) sus correspondientes poderes absorbentes, dando a l y a T un valor fijo y único para todos los cuerpos y llamando e₀(l,T) y A₀(l,T) a los correspondientes valores del cuerpo negro, la ley de Kirchhoff establece :

(2.1)

La mencionada ley puede entonces escribirse de la siguiente forma :

(2.2)

De modo que si un cuerpo – cualquiera sea su forma, tamaño o composición química - es capaz de emitir radiación de una cierta longitud de onda, será también capaz de absorber radiación de la misma longitud de onda y, viceversa, si un cuerpo no emite radiación en una determinada longitud de onda, tampoco podrá absorber radiación de esa longitud de onda. En otras palabras, cada cuerpo, independientemente de su forma, densidad, tamaño o composición química, tiene el poder de absorción máximo para la radiación que tiende a emitir y la emisión de energía depende sólo de l y de T. Es conveniente reiterar que la mencionada ley de Kirchhoff es válida en condiciones de equilibrio termodinámico.

2.3 RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO

Volvamos por un instante al ejemplo de la cavidad hipotética con gas a temperatura constante, mencionada en la sección anterior. Es evidente que el pequeño orificio practicado en dicha cavidad no podrá alterar significativamente el estado de equilibrio termodinámico alcanzado por el gas en su interior, después de haber transcurrido un tiempo suficientemente largo. Dicho orificio, sin embargo, servirá para observar experimentalmente qué clase de radiación emerge de la cavidad. La experiencia muestra que dicha radiación depende exclusivamente de la longitud de onda l y de la temperatura T. Además, la radiación proveniente de la cavidad es no polarizada, isotrópica y continua. Es continua debido a que, no obstante existir procesos que dan origen a radiación discreta (líneas), al estar considerando un cuerpo infinitamente opaco, la radiación que se produce en su interior es absorbida y reemitida muchas veces antes de salir del cuerpo. En esas condiciones, la energía se distribuye entre las distintas longitudes de onda y el resultado, en el límite de opacidad infinita (cuerpo negro), es un espectro continuo independiente del material.

La radiación de un cuerpo negro se describe mediante la función o Ley de Planck:

, (2.3)

en la cual B_l(T) representa la energía emitida hacia el vacío por la unidad de superficie del cuerpo negro, dentro de la unidad de ángulo sólido, en la unidad de tiempo y por unidad de intervalo de longitud de onda. La función de Planck (2.3) suele también escribirse de la siguiente manera :

, (2.4)

en la cual c es la velocidad de la luz y las constantes C₁ = 2hc² y C₂ = hc/k, tienen los siguientes valores :

C₁ = 1.1909 x 10^-12 watt cm² estereorradian^-1

C₂ = 1.43879 cm °K

La función de Planck es una función distribución y, por lo tanto, expresa la cantidad de energía emitida en un cierto intervalo de longitud de onda. Por ello, si se desea expresar la función de Planck por intervalo de frecuencia, en lugar de hacerlo por intervalo de longitud de onda, debe tenerse en cuenta que intervalos de longitud de onda no se corresponden con iguales intervalos en frecuencia. Sin embargo, si B(n,T) representa la función de Planck por intervalo de frecuencia, debe cumplirse la siguiente relación :

(2.5)

Puesto que l = c/n, se tiene :

(2.6)

En consecuencia, de (2.4) y (2.5) resulta :

(2.7)

o su equivalente :

(2.8)

Aquéllos interesados en dicha deducción pueden encontrarla en Aller (1963).

La Figura 2-1 ilustra de qué manera varían las curvas de Planck con la temperatura del cuerpo negro. El máximo de dichas curvas se desplaza hacia las longitudes de onda más cortas a medida que la temperatura aumenta. Volveremos sobre este punto al describir las leyes del desplazamiento de Wien.

4 LEY DE STEFAN – BOLTZMANN

Dado que la función de Planck no incluye ninguna dependencia angular, la misma no depende de la dirección de emisión que se considere. En consecuencia, un campo de radiación caracterizado por la función de Planck es isótropo. Cuando describamos las propiedades de un campo de radiación isótropo, veremos que una de éstas establece que la radiancia monocromática en cualquier punto de dicho campo es igual al producto de p por la intensidad específica monocromática en ese punto. 

Entendemos por radiancia monocromática L(l), la cantidad de energía emitida a todo un semiespacio por la unidad de área, en la unidad de tiempo y por unidad de intervalo de longitud de onda. 

Para el caso particular de un cuerpo negro, la intensidad específica monocromática I_l coincide con la función de Planck. Luego :

L_cn(l) = p B_l(T), (2.9)

en la cual L_cn(l) representa la radiancia monocromática del cuerpo negro. Si integramos la (2.9) en todas las longitudes de onda obtendremos la radiancia integrada del cuerpo negro, esto es, la cantidad total de energía que emite la unidad de área de dicho cuerpo, a todo un semiespacio y en la unidad de tiempo. Dicha cantidad será :

(2.10)

De (2.7) y (2.10) resulta :

Para resolver la integral de (2.11) es usual llevar a cabo el siguiente cambio de variables :

,

del cual resultan :

La expresión (2.11) se transforma ahora en la siguiente :

(2.12)

Dado que la integral del segundo miembro de (2.12) vale p⁴/15, se tiene :

(2.13)

Puede mostrarse que el término constante entre paréntesis de la expresión anterior es igual a 5.67 x 10^-8 Joules seg^-1 m^-2 °K^-4. Denotando con s a esta constante, resulta la expresión :

L_cn = s T⁴ , (2.14)

conocida como ley de Stefan-Boltzmann.

2.5 APROXIMACIONES A LA LEY DE PLANCK

Reemplazando C₂ por hc/k en (2.4) resulta la siguiente expresión para la función de Planck :

(2.15)

Para la región infrarroja del espectro o bien para las ondas de radio, es válida la desigualdad hn << kT. Desarrollando en serie de Taylor la exponencial de (2.15) y despreciando términos de orden superior, tenemos :

Reemplazando este desarrollo truncado en la expresión (2.15) y teniendo en cuenta que n = c/l, resulta :

(2.16)

La (2.16) es conocida como la ley de Rayleigh-Jeans y representa una buena aproximación para la región del infrarrojo y las ondas de radio.

En la región ultravioleta del espectro es válida la desigualdad hn >> kT. En consecuencia, el paréntesis del denominador de (2.15) se reduce simplemente a la exponencial sin la unidad y la función de Planck resulta ahora :

(2.17)

La (2.17) es la aproximación de Wien, válida para la región ultravioleta del espectro.

2.6 LEYES DEL DESPLAZAMIENTO DE WIEN

Las leyes del desplazamiento de Wien indican de qué manera se desplazan los máximos de las curvas de Planck con la temperatura y cómo varía el área interior a una curva de Planck, a medida que cambia la longitud de onda correspondiente al máximo de emisión de energía. La primera ley establece que la longitud de onda l_max correspondiente al máximo de emisión de energía de una curva de Planck a temperatura T, es inversamente proporcional a dicha temperatura. Es decir :

l_max T = C, (2.18)

en la cual C 0.29 cm °K.

Para demostrar esta primera ley basta derivar la función de Planck y encontrar para qué valor de l se produce el máximo de dicha función. Al derivar la expresión (2.3) con respecto a l e igualar a cero, resulta :

Reordenando términos se tiene:

Haciendo el cambio de variables x = hc/(klT), la igualdad anterior se transforma en la siguiente :

5 – x = 5 e (2.19)

El primer miembro de (2.19) representa una recta, en tanto que el segundo es una función exponencial. El valor de x que soluciona la ecuación transcendente (2.19) es la intersección de ambas curvas. Es fácil mostrar que la solución es muy próxima a x = 5, (Figura 2-2). Luego :

O bien :

Reemplazando las constantes numéricas en la igualdad anterior se obtiene la primera ley del desplazamiento de Wien :

La segunda ley del desplazamiento de Wien establece que la energía total emitida por el cuerpo negro es inversamente proporcional a la cuarta potencia de l_max. Esta ley es inmediata si se tiene en cuenta que de (2.9) y (2.14) la energía total emitida por el cuerpo negro es :

(2.20)

Reemplazando (2.18) en la expresión anterior, obtenemos :

(2.21)

en la cual a = s C⁴/p es una constante.