El Coeficiente de Absorción de la Línea
El perfil de una línea entra en el problema de la formación de líneas a través del coeficiente de absorción.
Un coeficiente de absorción puede expresarse así:
Sección transversal de un átomo por número de átomos por unidad de masa capaces de absorber en la frecuencia requerida.
donde
Ni es el número de átomos en el estado de ionización y excitación para absorber la línea. Nion es el número de átomos en el estado apropiado de ionización y Nel es el número de átomos del elemento y NH es el número de átomos de H por unidad de masa. Atomo incluye átomos e iones
En LTE Ni/Nion está dado por Boltzmann,
Nion/Nel por Saha,
Entonces,
Consideramos sólo 3 estados de ionización.
Ahora podemos considerar la sección transversal como el producto del perfil de la línea por una constante dependiente de cada línea
donde el perfil de la línea está normalizado, es decir que,
vale 1 y por lo tanto
Como sabemos que en el trabajo con líneas de las estrellas se trabaja con la fuerza del oscilador f, y que está definido como,
Además,
El perfil estará determinado por los efectos combinados de Doppler y ensanche natural y colisional. La rotación no se toma en cuenta porque no afecta al coeficiente de absorción simplemente produce movimientos como un todo de las zonas que producen las líneas y esto puede ser tenido en cuenta una vez que se ha calculado el espectro para una estrellas sin rotación. Se convoluciona el espectro con una función rotación.
El efecto Doppler ensancha así,
Si usamos x para indicar el Dn/ DnD y f(n) = f(x)/ DnD
el segundo ensanche se expresa así,
donde G es la suma de los anchos colisionales y natural. Algunas veces se escribe así,
donde x = 4pDn /G
y f(n) = f(x)/ 4p/G
El perfil completo siempre contiene los efectos conjuntos de Doppler y colisiones (y natural)
Para tener en cuenta a ambos efectos hay que convolucionar un perfil gaussiano con un
Lorentziano. La convolución se define entre dos funciones G y H así,
Si adoptamos x = u = Dn/ DnD y definimos a =G /4pDnD entonces el perfil Lorentziano será
Y luego,
El perfil convolucionado está dado por
El perfil convolucionado se llama perfil de VOIGT. La integral debe evaluarse numericamente y a/p veces la integral
De la ecuación C, se llama función de VOIGT y está tabulada. En función de la función de Voigt el perfil está dado por,
Repárese que en estas expresiones u es la distancia en frecuencia desde el centro de la línea en unidades del ancho Doppler y a es la razón entre el ancho de Lorentz y el de Doppler y mide la importancia relativa entre el ensanche por presión y por Doppler.
Debo mencionar finalmente que en los trabajos más precisos la forma del ensanche por presión no es estrictamente Lorentziana.
El coeficiente de absorción lo podemos escribir ahora de varias formas, todas equivalentes.
Si escribimos la sección transversal en función de la fuerza del oscilador:
donde k'0 es un coeficiente de absorción integrado sobre las frecuencias. Alternativamente podemos escribir el coeficiente de absorción incluyendo el perfil de Voigt,
donde a0 es el coeficiente de absorción en el centro de la línea para a = 0 o sea para el caso puro Doppler con V'= exp(-u2). Entonces,
Para atmósferas estelares a<<1 y el coeficiente para el centro de la línea es levemente inferior a (por el factor a) a0 .
A veces uno determina un coeficiente medio de absorción
Este coeficiente daría el coeficiente de absorción para toda la línea si la línea tuviese un perfil rectangular con ancho DnD.