LEY DE MAXWELL DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES

 

En condiciones de equilibrio termodinámico las velocidades de las partículas en un gas obedecen la Ley de Maxwell de distribución de velocidades, también conocida como Ley de distribución de velocidades de Maxwell y Boltzmann. De acuerdo a esta ley, el número de partículas con componentes de velocidad en la dirección del eje x comprendidas entre n_x y n_x+dn_x , es :

 

 

 

                                   ,                        (4.20)

 

                                                

                                                                                                                          

 

en la cual N es el número total de partículas del gas y m la masa de una partícula. Introduciendo la variable a, definida de la siguiente manera :

 

 

                                          ,                                                              (4.21)

 

resulta :

 

 

                                                                  (4.22)

 

 

La (4.22) es una función Gaussiana. En efecto, si se grafica N (n_x) en términos de n_x para el caso del gas hidrógeno a T = 6.000 °K y T = 24.000 °K, por ejemplo, se obtienen las gaussianas de la Figura 4-3.

 

Análogamente, las fracciones de partículas del gas con velocidades en la dirección de los ejes y y z, y en los rangos v_y, v_y+dv_y  y  v_z+dv_z , se escriben como :

 

 

                                                                   (4.23)

 

 

 

                                                                     (4.24)

 

 

Por lo tanto, la fracción de partículas del gas con componentes de velocidad en el rango v_x,v_x+dv_x , v_y, v_y+dv_y , v_{z ,} v_y+dv_z ,  es :

 

 

 

                                                        (4.25)

 

 

 

Para lograr que la (4.25) tenga un significado más intuitivo, podemos introducir la función N(v_x , v_{y ,} v_z), la cual representa el número de partículas con componentes entre v_x  y v_x  + dv_x, v_y  y v_y  + dv_y,  y  v_z  y  v_z +  dv_z . Luego :                                                                                                    

 

 

 

                                         (4.26)

 

 

 

           En muchas ocasiones resulta de interés considerar los módulos de las velocidades de las partículas, en lugar de sus componentes de velocidad. En este caso, no interesa conocer la dirección en la cual se mueve una determinada partícula. En la Figura (4-4) todas las partículas con vectores velocidad  desde el origen hasta un punto de la esfera verifican la ecuación :

 

 

                                              ,

 

 

en la cual v es el módulo del vector velocidad. 

 

 

		Figura 4-3: Número de partículas con velocidades vx en la dirección del eje x, en función de vx para dos temperaturas absolutas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura 4-4. El vector velocidad y sus componentes.

 

En lugar de considerar un elemento de volumen rectangular dv_xdv_ydv_z en  (4.26), vamos ahora a considerar el elemento de volumen comprendido entre las dos capas esféricas de radios v y v+dv. Dicho elemento es 4pv² dv, de manera que la expresión (4.26) queda:

 

 

                   

                                                                     (4.27)

    

 

                  

                                                            (4.28)

 

 

            Esta última puede reescribirse de la siguiente manera :

 

 

                                                         (4.29)

 

 

 

La distribución de velocidades (módulos) explicitada en (4.27), (4.28) o (4.29), se muestra en la Figura 4-5 para el caso del gas hidrógeno. En la misma se presentan dos curvas, o bien dos distribuciones Maxwellianas de velocidades correspondientes al hidrógeno a temperaturas de 6.000 °K y 24.000 °K, respectivamente.

 

Si definimos como velocidad más probable v_p al valor de la velocidad que hace máxima la distribución maxwelliana de velocidades (4.27), es fácil mostrar que la constante a  coincide con v_p. En efecto, derivando e igualando a cero la (4.27) resulta :

 

 

 

                                                                                 

 

 

O bien :

 

                                                                                                      (4.30)

 

 

de la cual se obtiene:          v_p = a                                                                     (4.31)

 

 

 

 

 Hemos demostrado que la constante a representa la velocidad más probable de las partículas. Por definición, la velocidad media  (velocidad promedio) de las partículas es :

 

                                                                                            (4.32)

 

 

Puede demostrarse fácilmente que esta integral es :. Luego, la velocidad media  se relaciona con v_p de la siguiente manera :

 

 

                                                                                            (4.33)

 

 

¿ Qué significa la velocidad cuadrática media de las partículas del gas ? Por definición esta velocidad debe verificar la siguiente relación :

 

 

                                                                                              (4.34)

 

 

La velocidad cuadrática media es pues un promedio tomado con respecto a la energía. Recordando que v_p = a, las expresiones (4.21) y  (4.34) nos permiten obtener la siguiente relación simple entre la velocidad cuadrática media y la velocidad más probable :

 

 

                =                             (4.35)

 

 

A manera de ejemplo, podemos determinar las velocidades v_p , y  para moléculas de oxígeno a 273 °K de temperatura. Puesto que la masa de la molécula de oxígeno es 32x1.66x10^-24 gr, haciendo los cálculos resulta :

 

 

                                   v_p = 3.76x10⁴ cm/seg

        

                                           

 

                                         

 

 

La velocidad cuadrática media es entonces la mayor, siguiendo en orden decreciente la velocidad media y luego la velocidad más probable.