Recapitulando, com as quatro equações de equilíbrio e as equações da física da matéria, $P(\rho, T, X_i)$ , $K(\rho, T, X_i)$ e $\epsilon(\rho, T, X_i)$ , além da condição de equilíbrio radiativo

$\nabla=\nabla_{rad}$ se $\quad \nabla_{ad} \geq \nabla_{rad}$

ou convectivo

$\nabla=\nabla_{{ad}}$ se $\quad \nabla_{ad} < \nabla_{rad}$

ou seja, o gradiente real é o menor dos dois, e as condições de contorno, podemos calcular a estrutura estelar. Uma dificuldade é que as condições de contorno estão separadas: um par se refere ao centro e outro par se refere à superfície. E nem sempre existe uma solução em equilíbrio para certas escolhas de massa total e composição química.

Uma maneira de resolver o sistema de equações é usando o método de integração chamado de Runge-Kutta [Carl David Tolmé Runge (1856-1927) e Wilhelm Martin Kutta (1867 - 1944)], que envolve o cálculo de uma série de derivadas da variável dependente, , em uma série de pontos no intervalo começando em e terminando em , onde é a variável independente e é chamado de passo. Estas derivadas são então utilizadas para encontrar . As versões mais sofisticadas do método automaticamente ajustam o valor do passo para manter a precisão desejada.

Outro método, usado no cálculo de modelos estelares reais, leva em conta que, se integrarmos do centro para fora, é possível que pequenos erros no núcleo sejam amplificados ao chegar na superfície, como a idéia de balançar amplamente a ponta de um chicote com pequenos movimentos de mão. O mesmo problema acontece nos modelos estelares devido ao grande contraste entre as condições centrais e superficiais, e a condição de equilíbrio radiativo contém o fator T^-4, enquanto a condição de equilíbrio hidrostático depende de r^-4. O método usado é integrar a partir do centro e da superfície simultaneamente e ver se as soluções se ajustam de forma contínua em algum ponto entre os extremos, por exemplo na borda entre o núcleo convectivo e o envelope radiativo, nas estrelas de alta massa. Precisamos então minimizar , onde é o ponto de ajuste, de modo que podemos calcular a derivada desta diferença, que deve se anular no ponto de mínimo. Como nossas funções não são lineares, iteramos o cálculo até que a diferença esteja dentro da precisão pré-determinada. Este método, de transformar um problema não linear em um linear, chama-se de método de Newton-Raphson [Isaac Newton (1642-1727) e Joseph Raphson (1648-1715)]. No método de Henyey, a cada iteração correções para todas as variáveis em todos os pontos são calculados simultaneamente [Louis George Henyey (1910-1970), J.E. Forbes e Nancy L. Gould 1964, Astrophysical Journal, 139, 306]. Nosso cálculo para estrelas esféricas consiste então em um sistema de 4 equações diferenciais ordinárias para as 4 variáveis: r, P, T e L. Como linearizamos as equações assumindo correções pequenas, se a aproximação inicial é muito diferente da solução, as correções necessárias são grandes e o sistema não converge.

Resultados da Sequência Principal de Idade Zero

No cálculo de uma sequência evolucionária, isto é, como um modelo de certa massa evolui com o tempo, podemos empregar um método explícito de cálculo, em que o estado de um sistema em um tempo $t_{n+1}=t_n+\Delta t$ só depende do conhecimento do estado em tempo . Este método assume que os movimentos são subsônicos, isto é, que choques não se desenvolvem.

$v_s = \sqrt{\frac{P}{\rho}}$

Se choques se desenvolvem, como por exemplo em supernovas, existem discontinuidades em densidade, que tornam o problema mais complexo. Neste caso precisamos usar outras técnicas, como as descritas por Yakov Borisovich Zel'dovich (1914-1987) e Yuri P. Raizer (1966,Physics of Shock Waves and High Temperature Hydrodynamic Phenomena, eds. W.D. Hayes e R.F. Probstein (New York: Academic Press). Naturalmente a escolha do passo de tempo, $\Delta t$ depende de quão rapidamente o sistema está mudando no tempo em questão. Se o sistema está mudando rapidamente, $\Delta t$ precisa ser pequeno. O passo em tempo deveria ser menor do que o tempo em que uma onda sonora leva para atravessar uma camada. Examinando-se todas as camadas, escolhe-se o limite superior do passo. Esta condição chama-se condição de Courant [Richard Courant (1888-1972), Kurt Friedrichs & Hans Lewy, (1928), Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen, 100, 32]. Mas na sequência principal, a escala de tempo importante não é a das ondas sonoras, da ordem de alguns segundos, mas sim a escala términa, da ordem de dezenas de milhões de anos. Uma maneira de aumentar o passo temporal é escrever as diferenças temporais, por exemplo dP/dt≈(Pⁿ⁺¹-Pⁿ)/Δt, de modo que as derivadas dependem também da variável em um tempo tⁿ⁺¹ e são calculados simultaneamente no processo iterativo, no chamado esquema implícito. O maior passo possível também depende da estabilidade numérica. Desta maneira calculam-se as acelerações e as velocidades, corrige-se o raio e calculam-se as novas densidades. Então calculam-se as novas temperaturas. Se o modelo for hidrostático, as acelerações serão nulas. O raio para um tempo qualquer precisa ser calculado simultaneamente com as outras variáveis. Como reações nucleares estão quase sempre presentes, precisamos incluir a mudanças nas abundâncias. Como as mudanças no peso molecular médio devido à ionização são muito rápidas, elas são incorporadas à equação de estado. Exceto em situações especiais, as abundâncias mudam vagarosamente e podem ser calculadas como simples diferenças.

Densidade central e temperatura central para estrelas na seqüência principal de idade zero, com X=0,685 e Y=0,295. Para as estrelas com massa abaixo de 0,25 M_⊙, As massas indicadas na figura estão em M_⊙. E_F/kT > 1, indicando que os elétrons no núcleo estão degenerados. As massas, M, estão em massas solares. A contribuição do ciclo CNO para a geração de energia passa de 3% para 1 M_⊙ a 90% para 3 M_⊙.

Como E_SP=0,007×0,1×Mc², t_SP=E_SP/L e L ∝ M³,

$t_{SP} \simeq 10^{10}(\frac{M}{M_\odot})^{-2}~{anos}$

(65)

para as estrelas acima de 3 M_⊙. Esta relação indica que para uma estrela de M≃100 M_⊙, a sequência principal dura apenas 1 milhão de anos. Esta relação, embora não seja muito boa para massas mais baixas, resulta em M=0,85 M_⊙ para t_SP=13,78 G anos, a idade do Universo. Para massas entre 0,4 e 4 M_⊙, a luminosidade L_SP≃0,90(M/M_⊙)^4,5.

Em 1942 o brasileiro Mário Schenberg (1916-1990) e o indiano Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995), demonstraram, usando o Teorema de Virial e um modelo politrópico para o núcleo praticamente isotérmico, que quando a massa do núcleo isotérmico de hélio corresponde a 10% da massa inicial de hidrogênio da estrela, não é mais possível manter o equilíbrio hidrostático no núcleo se a pressão é dada por um gás ideal (Schönberg, M. & Chandrasekhar, S. 1942, On the Evolution of the Main-Sequence Stars, Astrophysical Journal, 96, 161)). Este é o chamado limite de Schenberg-Chandrasekhar, e os modelos evolucionários comprovam que o núcleo se contrai rapidamente, esquentando e aumentando a produção de energia. A região em volta do núcleo se expande rapidamente e a estrela sai da sequência principal.

Diagrama HR teórico mostrando as diversas evolução de uma estrela de 5 massas solares, a partir da sequência principal (SP), no extremo esquerdo inferior, e quanto tempo a estrela leva em cada fase, segundo os cálculos de Icko Iben Jr.

Foto de Icko Iben Jr. (1931-2025), que estudou com Martin Schwarzschild (1912-1997), o precursor dos cálculos de modelos de evolução estelar. Icko Iben continuou este trabalho.

Icko Iben Jr. e Gregory Laughlin (1989, Astrophysical Journal, 341, 312), fitaram os resultados do tempo de vida total desde o início da sequência principal até a fase de nebulosa planetária dos modelos com 0,6 ≤ M ≤ 10 M_⊙ e, embora haja uma dispersão devido à composições químicas diferentes, encontraram

log t_evol = 9,921-3,6648 [log(M/M_⊙)]+1,967 [log(M/M_⊙)²]-0,9369 [log(M/M_⊙)³]

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para idade em anos. Por exemplo, para um modelo de 0,7 M_⊙, obtemos um tempo de evolução de 35 Ganos, mais do dobro do que a idade do Universo.

M/M_⊙	(1-2)	(2-3)	(3-4)	(4-5)
9,00	$2,14\times 10^7$	$6,05\times 10^5$	$9,11\times 10^4$	$1,48 \times 10^5$
5,00	$6,55\times 10^7$	$2,17\times 10^6$	$1,37\times 10^6$	$7,53 \times 10^5$
3,00	$2,21\times 10^8$	$1,04\times 10^7$	$1,03\times 10^7$	$4,51 \times 10^6$
2,25	$4,80\times 10^8$	$1,65\times 10^7$	$3,70\times 10^7$	$1,31 \times 10^7$
1,50	$1,55\times 10^9$	$8,10\times 10^7$	$3,49\times 10^8$	$1,05 \times 10^8$
1,25	$2,80\times 10^9$	$1,82\times 10^8$	$1,05\times 10^9$	$1,46 \times 10^8$

Evolução a partir da sequência principal. Na tabela está os tempos de vida em cada uma das faixas marcadas pelos números.

Pontos	$1,0~M_\odot$	$1,25~M_\odot$	$1,5~M_\odot$
1-2	$3,77\times 10^9$	$1,39\times 10^9$	$1,01\times 10^9$
2-3	$2,89\times 10^9$	$1,41\times 10^9$	$5,43\times 10^8$
3-4	$1,46\times 10^9$	$1,82\times 10^8$	$8,10\times 10^7$
4-5	$1,03\times 10^9$	$5,38\times 10^8$	$1,74\times 10^8$
5-6	$7,02\times 10^8$	$3,69\times 10^8$	$1,41\times 10^8$
6-7	$2,92\times 10^8$	$1,38\times 10^8$	$3,44\times 10^7$
7-10	$1,57\times 10^8$	$1,46 \times 10^8$	$1,05 \times 10^8$
10-12	$3,98\times 10^8$	$2,45\times 10^8$	$1,57\times 10^8$

Evolução a partir da sequência principal para modelos de População I. Os números circundados indicam a quantia pela qual a abundâcia de lítio superficial foi reduzida, assumindo que nenhuma massa foi perdida e que o único mecanismo de mistura é a convecção. Estes modelos não levavam em conta o difusão dos elementos na sequência principal, que reduz o tempo de vida porque parte do hidrogênio é transportado para cima, por ser mais leve, reduzindo o combustível no núcleo (Paula Jofré & Achim Weiss, 2011, Astronomy & Astrophysics, 533, 15).

Densidade e temperaturas centrais para modelos evolucionários de Icko Iben Jr. (1974, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 12, 271) para estrelas entre 0,8 e 15 M_⊙. As massas indicadas na figura estão em M_⊙. A linha pontilhada ϵ_F/kT=10 indica quando a pressão de degenerescência dos elétrons domina. À direita da linha o gás é degenerado e à esquerda, não degenerado. No modelo de Ana Carolina S. Antonini & Alejandra Daniela Romero (2025) da evolução de uma estrela com massa inicial de 9 M_⊙ até a fase de anã branca, com massa final de M_a.b.=1,31 M_⊙. Adotando uma perda de massa de Dieter Reimers (1975, Problems in stellar atmospheres and envelopes, Springer-Verlag New York, 229), com η_R=0,3 e incluindo difusão, há ignição do C quando o núcleo tem 1,258 M_⊙, formando uma anã branca de O/Ne.

Evolução a partir da sequência principal para modelos de 1,5 e 25 M_⊙. A queima de combustível no núcleo ocorre nas regiões mais escuras das curvas. Durante a fase interpulso, o He produzido pela camada termonuclear dominante, de queima de H, é acumulado na camada de He, até que um flash de He ocorra, que induz a uma zona de convecção entre as camadas. A terceira dragagem ocorre durante a fase de pulsos térmicos, e é onde se formam as estrelas carbonadas e estrelas ricas em ZrO. A opacidade das moléculas na atmosfera, que está mudando com a dragagem, bem como o aumento da perda de massa com a metalicidade, precisa ser incluída nos modelos. Nos modelos de Leo Girardi e Paola Marigo, a fase das estrelas carbonadas dura entre 2 e 3 milhões de anos.

Icko Iben Jr. e Alvio Renzini (1984, Physics Reports, 05, 6, 329) fitaram seus modelos teóricos a uma relação entre a idade dos cúmulos e o turnoff point - TOP, que é a luminosidade para a qual as estrelas começam a sair da sequência principal:

$\log L_{TOP}$	$\simeq$	$[ 0,019(\log Z)^2 + 0,064 \log Z + 0,41 Y -1,179] \log t_9$
		$1,246 -0,028 (log Z)^2 - 0,272 \log Z - 1,073 Y$

onde t₉ é a idade do cúmulo, em unidades de 10⁹ anos. Estes modelos são antigos, com tabelas de opacidades e taxas de reação nuclear antigas, não levam em conta a difusão, e resultam em idades irreais, de até 20 G anos.

Isócronas teóricas.

Léo Girardi et al. (2010 no Astrophysical Journal, 724, 1030), com os modelos de Padova, calcularam uma redução no tempo de vida no TP-AGB (thermally pulsating assymptotic giant branch - fase de pulsos térmicos no ramo assintótico das supergigantes) de 5 para 1,4 milhões de anos, para estrelas de Z=0,001 e M=0,7 a 0,9 M_⊙, devido à inclusão nos cálculos das opacidades moleculares e da perda de massa por poeira (dust-driven winds). Estas estrelas de baixa metalicidade não passam pela dragagem no TP-AGB e são predominantemente ricas em O. Além da redução em idade, há também uma redução na massa final resultante, que passa de 0,55 a 0,65 M_⊙ para massas iniciais de 0,7 a 0,9 M_⊙, para 0,51 a 0,55 M_⊙.

Paula Jofré e Achim Weiss (2011, Astronomy & Astrophysics, 533, 15), mostram que se não levam em conta a difusão nas estrelas do halo na nossa Galáxia, a idade obtida é de 14 a 16 Ganos, incoerente com a idade do Universo. Quando levam em conta a difusão, como o hidrogênio difunde para cima, saindo do núcleo, existe menos combustível nuclear e a saída da sequência principal é mais rápida. Neste caso a idade é de 10 a 12 G anos, comprovando então que é necessário levar em conta a difusão na evolução estelar, especialmente para as estrelas de baixa metalicidade, que têm envelope convectivo razo e há difusão por um longo tempo.

Comparação do modelo de Italo Mazitelli, Franca D'Antona & Vittoria Caloi (1995, Astronomy & Astrophysics, 302, 382), com Z=0,0001 e idade, sem difusão, de 14 Ganos, com dois tratamentos diferentes de convecção, a teoria do comprimento de mistura, MLT, e a teoria de Vittorio M. Canuto e Italo Mazzitelli de multiplas escalas.
Diagrama HR

As estrelas brilhantes como Rigel, Deneb, Capela e Polux estão em uma linha aproximadamente paralela à sequência e estão queimando hélio em seu núcleo, na chamada sequência principal do hélio [Bodan Paczynski (1940-2007), 1971, Evolution of Single Stars. IV. Helium Stars, Acta Astronomica, Vol. 21, p.1].

As estrelas Betelgeuse, Mira, Antares e Aldebaran têm aproximadamente a mesma temperatura efetiva são chamadas de supergigantes vermelhas. As menos brilhantes estão queimando hidrogênio em uma camada sobre o núcleo compacto, comparável em tamanho as anãs brancas menos massivas conhecidas. As estrelas como a Mira alternam entre queimando hidrogênio e queimando hélio em camadas sobre um núcleo de carbono e oxigênio similar às anãs brancas. Estas estrelas pertencem ao Ramo Gigante Assintótico (AGB), são pulsantes térmicas, e passam por estágios de queima termonuclear descontrolada intermitente (pulsos térmicos). Elas são responsáveis pela formação da maioria do carbono e dos isótopos ricos em nêutrons formados pelo processo lento de captura de nêutrons.

Aproximadamente 80% da fase da vida de uma estrela em que ocorrem reações nucleares é passada na sequência principal. Se a estrela tiver massa acima de 1,25 M_⊙ a conversão de hidrogênio em hélio se dá pelo ciclo CNO, em um núcleo convectivo, se a estrela possui carbono. Depois de consumir o hidrogênio central, a estrela se desloca rapidamente para o ramo das gigantes, pois pelo Teorema do Virial metade da energia de contração esquenta o núcleo e metade é usada para expandir as camadas externas. Inicia-se a queima de hidrogênio em uma camada fina sobre o núcleo em rápida contração e aquecimento, composto essencialmente de hélio puro. Como a camada é fina, a temperatura em que ocorre a queima é significativamente maior do que quando houve queima no núcleo, já que a mesma luminosidade tem que ser gerada em uma camada com menor massa. Com a contração do núcleo, há expansão das camadas externas. Ao se aproximar do ramo das gigantes, a base da região convectiva superficial se extende até as camadas em que o carbono foi convertido em nitrogênio; a abundância superficial destes dois elementos começa a mudar em quantidades detectáveis. Este processo de mistura convectiva de elementos processados termonuclearmente no núcleo convectivo é chamado de primeira dragagem (first dredge-up). A figura ao lado é para um exemplo de 10,5 M_⊙.

Para uma estrela de massa intermediária, isto é, acima de 2,3 M_⊙ (ou acima de 1,8 M_⊙ se overshooting for significativo), a temperatura central atingirá ∼10⁸ K e a densidade central ∼10⁴g/cm³ em um núcleo não degenerado, e o hélio começará a ser transformado em carbono no centro, revertendo a ascensão da estrela no ramo das gigantes no diagrama H-R. A liberação de energia expande o núcleo e as camadas externas se contraem, aumentando a temperatura efetiva de cerca de 4000 K para 8000 K. A estrela então passará uma longa fase de queima de hélio em um núcleo convectivo e em crescimento. A queima de hidrogênio em uma camada fina continua a prover a maior parte da luminosidade da estrela (80%) e, portanto, a massa da região central exaurida de hidrogênio continua a aumentar. Alfred Gautschy (2012) faz um resumo da ignição de hélio fora do centro em um gás degenerado para estrelas até 2 M_⊙. A ignição fora de centro, causada pela forte emissão de neutrinos no centro, foi primeiro estudada por Hans-Christoph Thomas (1967, Zeitschrift für Astrophysik, 67, 420.)

Modelo estrutural de uma estrela de 1,3 M_⊙ no início da queima de He, calculado por Alfred Gautschy.
Halabi

Ghina M. Halabi (2014, 2014arXiv1410.1651H), calcula o efeito da nova taxa reduzida (Cyburt et al. 2010, Astrophysical Journal Supplement Series, 189, 240) (direita) de ¹⁴N(p,γ)¹⁵O para um modelo de 6 M_⊙ com metalicidade solar, que reduz o loop da queima de hélio, em relação ao modelo com a taxa do NACRE (esquerda).

Quando a abundância do hélio central decresce significativamente, o hélio continua a queimar em uma camada externa que se desloca para massas maiores. O núcleo exaurido de hélio se contrai e esquenta enquanto que o envelope rico em hidrogênio se expande e esfria tanto que o hidrogênio para de queimar. No diagrama H-R o modelo evolui novamente para o ramo das (super-)gigantes e a base do envelope convectivo se estende até a interface hidrogênio-hélio, entrando em camadas em que o hidrogênio foi completamente convertido em hélio e a maior parte do carbono original convertido em nitrogênio. Hélio e nitrogênio são trazidos para a superfície na segunda dragagem. A matéria na base do envelope convectivo é aquecida até reiniciar a queima do hidrogênio, o que força a base do envelope convectivo a recuar para uma região acima da camada onde ocorre a queima de hidrogênio.

Para uma estrela de 5 M_⊙, logo após o início da segunda dragagem a matéria no núcleo exaurido de hélio atinge $\rho_c \approx 10^6~{g/cm^3}$ e os elétrons se tornam degenerados. Nestas condições, a condução de calor pelos elétrons ajuda a manter a matéria nuclear dentro de um fator de 2 da temperatura média do núcleo, $\langle T \rangle \approx 2 \times 10^8$ K, e a perda de energia pelos processos de plasma e foto-neutrinos se tornam importantes. Grande parte da liberação de energia gravitacional potencial pelas camadas superiores é perdida pela emissão de neutrinos, mantendo a temperatura do núcleo próxima da temperatura da camada onde ocorre a queima de hélio. O núcleo da estrela tem as dimensões de uma anã branca, e é de fato uma anã branca quente.

Pulsos térmicos para uma estrela de 5 M_⊙ depois da queima do hélio nuclear, segundo o cálculo de Alfred Weigert (1966, Zeitschrift für Astrophysik, 64, 395).
pulsos

Evolução da região próxima das duas camadas com reações nucleares (linhas tracejadas). A região com bolhas representa a zona de convecção externa. A zona de convecção na região entre as camadas, no máximo de cada pulso, é tão rápida que aparece no gráfico somente como um traço vertical. O tempo entre cada pulso consecutivo, em anos, é indicado no topo da figura (Alfred Weigert, 1966, Zeitschrift für Astrophysik, 64, 395).

A queima de hidrogênio e hélio ocorre alternadamente em camadas, ocorre extensa nucleosíntese por captura de nêutrons, sintetizando centenas de isótopos ricos em nêutrons, e dependendo da metalicidade, estes isótopos, junto com o carbono, são trazidos para a superfície em uma série de episódios de terceira dragagem.

Nos modelos teóricos com massa inicial próxima de 11 M_⊙ e pouca perda de massa, a massa do núcleo central de carbono e oxigênio cresce até atingir 1,44 M_⊙, o limite de Chandrasekhar. Neste ponto o carbono começa a queimar, pois há forte escudamento eletrônico, e depois de um curto episódio durante o qual a perda de energia pelo processo Urca de emissão de neutrinos balança a energia gerada pela queima do carbono, a taxa de queima de carbono cresce exponencialmente, criando uma frente que queima que se desloca na direção da superfície, convertendo matéria em elementos do grupo do ferro, mas com velocidades acima da velocidade de escape. Desta forma, o núcleo é completamente desfeito como uma supernova. Nos modelos com maior perda de massa, o início da queima do C ocorre antes do núcleo atingir a massa de Chandrasekhar. A massa do envelope rico em hidrogênio do modelo de supernova é grande o suficiente para que linhas de hidrogênio sejam proeminentes. Estas são as SN II.

Como por definição uma supernova do tipo Ia não tem linhas de hidrogênio, supernova SN Ia não é oriunda da evolução de uma estrela de massa intermediária sem perda de massa significativa. Na verdade os modelos indicam que as supernovas tipo Ia são formadas por acresção de massa em estrelas anãs brancas, já que neste caso a temperatura é suficiente para queimar todo o hidrogênio.

As supernovas formadas pelas estrelas de massa intermediária são supernovas do tipo II. Como a taxa de nascimento de estrelas na nossa galáxia é de aproximadamente uma estrela por ano, o número de estrelas com massa inicial superior a 1,44 M_⊙, de acordo com a função de massa proposta em 1955 pelo astrônomo americano Edwin Ernest Salpeter (1925-2008) que dá a taxa de formação de estrelas por pc³ por ano

$\psi d(\frac{M}{M_\odot}) = 2\times 10^{-12} (\frac{M}{M_\odot})^{-2,35} d(\frac{M}{M_\odot})~{pc^3/ano}$

(67)

corresponde a 20× a taxa de formação de supernovas na nossa galáxia, concluímos que a maior parte das estrelas de massa intermediária termina de alguma forma sua vida antes da queima explosiva do carbono. Estrelas reais perdem seus envelopes ricos em hidrogênio antes que o núcleo comece a queimar o carbono. Se supormos que as supernovas só ocorrem para massas iniciais acima de 10 M_⊙, a taxa se torna uma a cada 39 anos, próxima da estimativa atual de uma a cada 50 anos na Galáxia.

A estimativa da taxa de formação de nebulosas planetárias na nossa galáxia é consistente com a estimativa de formação de estrelas de massas baixa e intermediária, isto é, até 10 M_⊙. Philipp Podsiadlowski et al. (2004, Astrophysical Journal, 612, 1044) estimam 11±1 M_⊙ como o limite inferior para a massa das estrelas que geram estrelas de nêutrons. Stephen J. Smartt (2009, Progenitors of Core-Collapse Supernovae, Annual Review of Astronomy & Astrophysics, 47, 63), e com J. J. Eldridge, R. M. Crockett, & J. R.Maund (2009, Monthly Notices of the Royal Astronomical Sociery, 395, 1409), concluem que estrelas com massa superior a 8,5±1,5 M_⊙ tornam-se supernovas tipo II.

À esquerda, Nebulosa Planetária da Helix, fotografada pelo Telescópio Espacial Hubble. Existem aproximadamente 10 000 nebulosas planetárias em nossa galáxia. A nebulosidade permanece visível por aproximadamente 10 000 anos após sua ejeção pela estrela, no ramo gigante assintótico. O termo nebulosa planetária foi dado porque algumas se parecem com o planeta Urano, quando olhadas através de um telescópio pequeno. À direita, diagrama HR teórico mostrando o caminho evolucionário de uma estrela de 0,6 M_⊙, a partir do Ramo Horizontal (queima de He no núcleo), calculado pelo americano Icko Iben Jr. e pelo italiano Alvio Renzini (1983, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 21, 271), para X=0,749 e Y=0,25.

Após a ejeção da maior parte do envelope de hidrogênio na fase de nebulosa planetária, o núcleo remanescente de um modelo de estrela com massa inicial de até aproximadamente 10 M_⊙ evolui rapidamente para o azul no diagrama H-R, em uma trajetória essencialmente horizontal. A luminosidade do modelo é ainda devido à queima de hidrogênio em uma camada fina, mas, quando a temperatura efetiva do modelo atinge T_ef ≃ 10 000 K, a quantidade total de hidrogênio acima da camada é tão pequena que a queima só continua por aproximadamente 300 anos. Quando a temperatura efetiva atinge 30 000 K, o material ejetado pode ser fotoionizado pela radiação do remanescente compacto e o sistema terá as características de uma nebulosa planetária com uma estrela central quente.

Diagramas cor magnitude de aglomerados de metalicidades diferentes, mostrando Red Clump ou Ramo Horizontal, com dados do Telescópio Espacial Hubble publicados por Gianpaolo Piotto et al. (2002, Astronomy & Astrophysics, 391, 945).

O ramo horizontal é onde as estrelas queimam He no núcleo. As estrelas com massa até cerca de 3 M_⊙ chegam ao ramo horizontal com um núcleo com aproximadamente 0,6 M_⊙. Nos modelos de Young-Wook Lee, Pirre Demarque e Robert Zinn, mostrados na figura ao lado (1994, The Horizontal-Branch Stars in Globular Clusters. II. The Second Parameter Phenomenon, Astrophysical Journal, 423, 248), eles mostram que a diferença na idade e na metalicidade dos aglomerados explica a variedade de ramos horizontais observados.

No Ramo Horizontal, as estrelas apresentam variações de luz, causadas pelas zonas de ionização parcial do hidrogênio e do hélio, e são chamadas de variáveis RR Lyrae.

Seqüência de imagens do cúmulo globular M3 durante um dia, mostrando a variabilidade das estrelas RR Lyrae.
©Joel Hartman (Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics) & Krzysztof Z. Stanek (Ohio State University)

Os modelos hidrodinâmicos das variações mostram que as RR Lyrae têm massa entre 0,6 e 0,7 M_⊙, embora os precursores sejam mais massivos, indicando que já perderam uma quantidade significativa de massa durante sua evolução, mas principalmente no ramo das gigantes.

Estrelas mais massivas, com massas 5 ≤M ≤ 10 M_⊙, tornam-se pulsantes quando ainda estão queimando He no núcleo, mas com períodos mais longos, da ordem de dias, e são chamadas de Cefeidas. Elas são usadas como indicadores de distância para as galáxias, pois seu período de pulsação é proporcional à sua luminosidade, como descoberto em 1912 por Henrietta Swan Leavitt (1868-1921).

As Cefeidas clássicas têm

$\log P=0,4$ a 1,8, em dias,
$\log L/L_\odot$ =2,81 a 4,58,
$\log R/R_\odot$ =1,41 a 2,44,
$\log \cal{M}/\cal{M}_\odot$ =0,54 a 1,04, e
$\log T_{ef}$ =3,76 a 3,69.

As Cefeidas de População II têm

$\log P$ =0,1 a 1,3, em dias,
$\log L/L_\odot$ =1,95 a 2,87,
$\log R/R_\odot$ =0,86 a 1,52,
$\log \cal{M}/\cal{M}_\odot$ =-0,22, e
$\log T_{\mathrm{ef}}$ =3,82 a 3,72.

Se não houvesse overshooting, a massa mínima para que uma estrela de população I queimasse o hélio em um núcleo não degenerado seria da ordem de 2,3 M_⊙. Com overshooting este limite inferior pode ser de até 1,5 M_⊙, mas uma comparação com as observações sugere um limite entre 1,6 M_⊙ e 2,1 M_⊙.

Evolução da estrutura interna de uma estrela de 5 M_⊙ após a sequência principal. Os números na parte superior da figura correspondem às fases equivalentes da figura evolucionária. As regiões escuras indicam queima nuclear e as com bolhas indicam convecção (Rudolf Kippenhahn, Hans-Christoph Thomas & Alfred Weigert, 1965, Zeitschrift für Astrophysik, 61, 241).
M13

Evolução da estrutura interna de uma estrela de 1,3 M_⊙ após a sequência principal. A região pontilhada é onde a abundância de hidrogênio muda (Hans-Christoph Thomas, 1967, Zeitschrift für Astrophysik, 67, 420).
loop

Diagrama H-R com as seqüências evolucionárias para massas entre 4 e 9 M_⊙, desde a sequência principal até a fase de queima nuclear de hélio. A linha pontilhada indica a borda vermelha da faixa de instabilidade das Cefeidas (B. Matraka, C. Wassermann & Alfred Weigert, 1982, Astronomy & Astrophysics, 107, 283) (direita) e variação do raio das estrelas com o tempo, devido à sua evolução (esquerda).

As estrelas de baixa massa são por definição aquelas que desenvolvem um núcleo com elétrons degenerados logo após sair da sequência principal. Elas têm um ramo gigante mais estendido do que as estrelas de massa intermediária, pois o núcleo exaurido de hidrogênio se esfria por condução eletrônica quando os elétrons se tornam degenerados, aumentando o tempo até o início da queima de hélio, que termina a subida do ramo das gigantes. Quando a massa do núcleo de hélio atinge cerca de 0,45 M_⊙, um queima de hélio descontrolada se inicia no núcleo (flash de He). Esta queima descontrolada continua até que a degenerescência seja levantada. A perda de energia por emissão de neutrinos no núcleo causa um gradiente negativo de temperatura nas regiões centrais do núcleo, e o início da queima de hélio ocorre fora do centro e depois procede para dentro em uma série de flashes que ocorrem sucessivamente mais próximos do centro. A luminosidade máxima devido a transformação de $3 \alpha \rightarrow {^{12}{C}}$ alcança $L\simeq 10^{11}~L_\odot$ . Esta energia não sai da estrela, mas permanece na camada convectiva, que se estende quase até a camada de queima de hidrogênio. A temperatura sobe até que a degenerescência desaparece. A proporcionalidade entre temperatura e pressão então permite um novo equilíbrio: o núcleo de hélio se expande e esfria, e o modelo inicia uma fase de queima quiescente de hélio, como os modelos de massa intermediária, que dura cerca de

anos.

No Ramo Horizontal, a posição do modelo no diagrama H-R depende principalmente da metalicidade. Os modelos de alta metalicidade se concentram em uma pequena região no ramo das gigantes, chamado de Red clump, aproximadamente 3 magnitudes abaixo do topo do ramo gigante, enquanto que os modelos de baixa metalicidade cobrem uma região extensa de temperaturas efetivas mais azuis do que o ramo das gigantes, levando à designação de ramo horizontal.

Com uma opacidade K $\propto \rho T^{-s}$ , podemos estimar $T_{ef} \propto Z^{-(s+3)/2}$ . Portanto, de Z=0,0001 (Pop II extrema) até Z=0,02, obtemos

T_ef(Pop I)/T_ef(Pop II)=0,64 para s=3 e
T_ef(Pop I)/T_ef(Pop II)= 0,41 para s=0.

Os modelos têm aproximadamente a mesma luminosidade pois têm aproximadamente a mesma massa nuclear e portanto a mesma contribuição para a luminosidade pela queima do hélio. Diferente dos modelos de massa intermediária, a contribuição da camada queimando hidrogênio não é dominante para a luminosidade. A massa do núcleo exaurido de hidrogênio no fim do ramo horizontal é tipicamente $0,5~M_\odot$ , ou seja, $0,05~M_\odot$ maior do que no início da queima do hélio.

Após a exaustão do hélio central, o modelo de baixa massa é similar ao modelo de massa intermediária: um núcleo de C-O com elétrons degenerados, uma camada extra-nuclear queimando hélio e um envelope rico em hidrogênio em que o hidrogênio não queima significativamente, mesmo na sua base. Os modelos ocupam a mesma região do Ramo Gigante Assintótico (AGB). Nesta fase a maior parte do envelope de hidrogênio é perdido por vento radiativo.

Para massas acima de 8-9 $M_\odot$ , mas ainda abaixo de cerca de 10,5 $M_\odot$ , o núcleo tem acima de 1 $M_\odot$ e contém oxigênio, neônio e magnésio. O núcleo é uma anã branca pré-fabricada, circundado por um envelope com centenas de raios solares. As estrelas do AGB são importantes no enriquecimento da galáxia e dominantes na luminosidade integral de sistemas estelares de idades intermediárias e, portanto, ferramentas para o estudo das populações extragaláticas.

Para os modelos de baixa massa, a fase inicial do AGB, antes do início dos pulsos térmicos, dura cerca de anos, comparados com anos no ramo gigante.

Para estrelas de População I, as observações indicam que o AGB termina com massa de cerca de 0,65 M_⊙, ou seja, estrelas com massas iniciais de cerca de 1,4 M_⊙ aumentam a massa do núcleo em cerca de 0,15 M_⊙ durante o AGB, e retornam aproximadamente metade de sua massa inicial para o meio interestelar. A matéria perdida durante o AGB é provavelmente enriquecida em carbono e elementos ricos em nêutrons formados pelo processo "s".

Modelo de uma estrela de 2 M_⊙ publicado por Falk Herwig (2005, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 43, 435). Os números próximos às etapas correspondem ao log do tempo que a estrela passa nesta etapa, em anos. A linha em azul, correspondendo a fase de renascença após um pulso térmico muito tardio, está deslocada de log T=-0.2 e log L=-0.5 para vizualização. Na fase de pós-AGB, há dificuldades de convergência numérica nos modelos. O ZAHB (Zero Age Horizontal Branch), ramo horizontal de idade zero ocorre durante a queima de hélio no núcleo quiescente, após a estrela ter subido ao topo do RGB (Red Giant Branch), ramo das gigantes vermelhas. Nestes modelos, se a estrela tem massa menor que 1,8 M_⊙, a ignição do He se dá em um núcleo degenerado. Como as estrelas do AGB dominam a luminosidade dos sistemas estelares de idade intermediária, elas são importantes nos estudos dos sistemas extra-galáticos.

O aglomerado NGC 2808 apresenta múltiplas populações e o modelo calculado por S.K. Yi (2008, Astronomical Society of the Pacific Conference Series, 392, Hot Subdwarf Stars and Related Objects, editores Uli Heber, C. Simon Jeffery & Ralf Napiwotzki, 3) consegue reproduzir as observações assumindo que as diferentes populações têm a abundância de hélio variando de 0,23 a 0,43.

Já no topo do ramo gigante assintótico, as estrelas se tornam variáveis tipo Mira, com períodos de 6 meses a dois anos, e luminosidades da ordem de 2500 L_⊙. Para estrelas de massa abaixo de ≃7 M_⊙ o forte esfriamento por emissão de neutrinos faz com que o núcleo nunca atinja a temperatura necessária para a ignição do carbono.

Relação entre a massa inicial da estrela e a composição do núcleo da anã branca resultante, nos modelos de Icko Iben Jr.

Adriano Pietrinferni, Santi Cassisi, Maurizio Salaris & Fiorella Castelli apresentam sua grade de modelos (2006, Astrophysical Journal, 642, 797) entre 0,5 e 10 M_⊙ -2,6 < [Fe/H] < 0,05 para a população do halo e bojo.

Durante toda a evolução da estrela, a energia gravitacional do núcleo vai aumentando, por contração, mas no momento da explosão de uma supernova, aproximadamente 0,1 M_⊙c²≃10⁵³ erg, correspondendo a toda a energia gravitacional acumulada, são liberados, sendo que somente 10⁵¹ erg correspondem à luminosidade perdida através de fótons. A maior parte da energia é perdida através de neutrinos.

Em 1961 o japonês Chushiro Hayashi (1920-2010) demonstrou que uma estrela totalmente convectiva tem a menor temperatura atmosférica possível; modelos com temperaturas mais baixa não estão em equilíbrio hidrostático. Esta temperatura é chamada de limite de Hayashi, e corresponde ao ramo das gigantes [Chushiro Hayashi & Reun Hoshi. The Outer Envelope of Giant Stars with Surface Convection Zone, Publications of the Astromical Society of Japan 13, 442-49 (1961)].

Diagrama HR teórico mostrando o caminho evolucionário de estrelas de diferentes massas, com um overshooting convectivo moderado, conforme cálculos de André Maeder (1942-) e Georges Meynet, da Universidade de Genebra (1989, Astronomy & Astrophysics, 210, 155). Nesses modelos, a massa máxima de uma estrela Cefeida é de 12 M_⊙. A base de dados desses modelos pode ser encontrada na página do Observatório Astronômico de Genebra. As regiões sombreadas indicam a sequência principal (queima de H no núcleo) e a região de queima de hélio no núcleo.

Programa para cálculo moderno e resultados
Interface para as isócronas e síntese de populações estelares Trilegal de Léo Girardi e Paola Marigo, de Pádova.
Achim Weiss tem uma comparação dos modelos de evolução estelar de diversos grupos.
Nucleossíntese no AGB, pdf em Genebra.
Nucleosynthesis in Stars and the Chemical Enrichment of Galaxies, Ken'ichi Nomoto, Chiaki Kobayashi & Nozomu Tominaga, 2013, Annual Review of Astronomy & Astrophysics, 51, 457-509.
The Formation and Early Evolution of Low-Mass Stars and Brown Dwarfs, Kevin L. Luhman, 2012, Annual Review of Astronomy & Astrophysysics, 50, 65-106.
Presupernova Evolution of Massive Single and Binary Stars, Norbert Langer 2012, Annual Review of Astronomy & Astrophysics, 50, 107-164.
Masses, Radii, and the Equation of State of Neutron Stars, Feryal Özel & Paulo Freire, 2016, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 54, 401-440 (M≤2.0 M_⊙, R=10→11,5 km)
Red Clump Stars, Léo Girardi, 2016, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 54, 95-133.
The Assembly of the First Massive Black Holes, Kohei Inayoshi, Eli Visba & Zoltán Haiman, 2021, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 58, 27-97.
Evolution and Mass Loss of Cool Aging Stars: A Daedalean Story, Leen Decin, 2021, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 59, 337-389.
New Insights into Classical Novae, 2021, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 59, 391-444.
New Insights into the Evolution of Massive Stars and Their Effects on Our Understanding of Early Galaxies, 2022, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 62, 455-453.
The Physical Origin of the Stellar Initial Mass Function, P. Hennebelle & M.Y. Grudic, 2024, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 62, 63-111.
The First Stars: Formation, Properties, and Impact, alf S. Klessen & Simon C.O. Glover, 2023, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 61, 65-130.

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