Campos Magnéticos e Rotação

Na formação das anãs brancas, o raio da estrela diminui por um fator de 100, passando da ordem do raio solar para da ordem do raio da Terra (R_⊙=109 R_⊕):

Problema do Momentum Angular de Rotação: $R^2\Omega \simeq {constante} \longrightarrow \Omega$ aumenta por 1/(100²), onde Ω é a velocidade angular de rotação.
Problema do Fluxo Magnético: $R^2B \simeq {constante} \longrightarrow B$ aumenta por 1/(100²), onde B é o campo magnético.

Efeito Zeeman

A energia em um campo magnético B em um esfera de raio R é dada por

$E_B=\frac{1}{6}B^2 R^3$

A pressão magnética

$P_B=\frac{1}{3}\frac{B^2}{8\pi}$

resulta da ordem de P_B ≃1,3×10¹⁰ dinas/cm² para um campo de 1 M G (1 Gauss=10^-4 Tesla) comparada com a pressão do gás, hidrostática,

$P_{gás}\simeq \frac{GM^2}{R^4}$

da ordem de 4×10¹⁵ dinas/cm² para o interior de uma anã branca. A densidade de energia potencial magnética é dada por

$E_B=\frac{B^2}{8\pi}$

no sistema cgs e

$E_B=\frac{B^2}{2\mu_0}$

no sistema mks, onde $\mu_0$ é a permeabilidade do espaço livre, uma constante valendo $4\pi\times 10^{-7}$ weber/(ampere.metro).

orbitais Quando um elétron atômico está em um campo magnético, o Hamiltoniano tem termos adicionais

$\cal{H}}_M = \frac{eB}{2mc}(k_l+2 k_s) + \frac{e^2B^2}{8mc^2}r^2 \mbox{sen}^2 \theta$

onde

são os operadores momentum angular orbital e de spin projetados ao longo do campo, e

e $\theta$ são coordenadas polares em relação à direção do campo. Como $\Delta s=0$ para transições de dipolo elétrico, o spin não tem efeito no espectro e pode ser ignorado.

O primeiro termo no Hamiltoniano produz tripletos de Lorentz ( $\Delta m_l=0,\pm 1$ ), com uma separação da ordem de 10 Å/MG em 4500 Å e 20,115 Å/MG em Hα. Para campos acima de 10 MG o efeito quadrático (diamagnético) precisa ser levado em conta, e o termo linear (paramagnético) pode ser comparado com o quadrático

$\frac{E_L}{E_q}\simeq 4,55 \times 10^{-6}\frac{E_l}{\mbox{46 cm$^{-1}$}} \frac{B}{\mbox{MG}}\,n^4$

de modo que para um campo de 10 MG, o termo quadrático é pequeno para Hα, mas igual ao efeito linear para Hγ e dominante para os níveis mais altos. O termo quadrático é sempre positivo, deslocando para o azul. O efeito de campos fortes foi descrito por Louis Paschen (1865-1947) e Ernest Back (1881-1959) em 1912.

Para átomos com linhas singletos (S=0), um campo magnético fraco separa cada nível em 2J+1 níveis igualmente espaçados, onde J é o momentum angular total (m_l+m_s). De acordo as observações do físico holandês Pieter Zeeman (1865-1943) (1897, The Effect of Magnetisation on the Nature of Light Emitted by a Substance, Nature, 55, 347) e a explicação teórica de seu professor Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) em 1897, os níveis de energia são dados por

$E_k = E_n \pm k\frac{ehB}{4\pi mc} = E_n \pm k h \nu_L$

para valores de k inteiros entre 0 e J,

é o valor da energia sem o campo magnético, B é a intensidade do campo magnético, o fator $\frac{eh}{4\pi mc}=9,2731 \times 10^{-21}$ ergs/gauss é o momento de Bohr do magnetron, e $\nu_L=\frac{ehB}{4\pi mc}=1.400 \times 10^6 B$ Hz é a frequência de Larmor de precessão do elétron em torno do campo magnético, para B dado em gauss [Sir Joseph Larmor (1857-1942), (1897, The Influence of a Magnetic Field on Radiation Frequency, Proceedings of the Royal Society of London, 60, 514). Zeeman e Lorentz receberam o prêmio Nobel de 1902 pela descoberta do efeito Zeeman.

As regras de seleção para as transições permitidas entre os diferentes níveis são Δk=0,±1, e um nível com k=0 não pode se combinar com outro nível de k=0. Como o espaçamento é igual para todos os componentes, cada nível de um singleto se separa em tres componentes, a componente π com a mesma frequência inicial, e as duas componentes σ deslocadas pela frequência de Larmor. A componente π é plano polarizada no plano contendo a linha de visada e o vetor do campo magnético. As duas componentes σ são polarizadas elípticamente. Nas observações na direção do campo magnético, a componente central π não é detectada e as duas componentes σ serão circularmente polarizadas em direções opostas de rotação, com a de mais baixa frequência sendo a com rotação horária. Na direção perpendicular ao campo, as três componentes são visíveis, mas a central mostra polarização linear paralela ao campo e as outras duas mostram polarização linear perpendicular ao campo.

A intensidade observada dependerá da intensidade que seria produzida se não houvesse campo magnético, da inclinação θ do vetor campo magnético com a linha de visada, e das características de polarização do detector. O americano Frederick Hanley Seares (1873-1964) calculou as intensidades dos feixes com polarização circular (1913, Astrophysical Journal, 38, 99). Os campos magnéticos no Sol têm de um a centenas de gauss [Horace Wellcome Babcock (1912-2003) e Harold Delos Babcock (1882-1968), 1955, Astrophysical Journal, 121, 349] e o meio interestelar de 1μG.

De acordo com George W. Preston (1970, Astrophysical Journal, 160, L143):

$\Delta \lambda_{linear} (\AA) = \pm 4,67 \times 10^{-13} \lambda^2 B$

que corresponde a 20 Å/MG em Hα

Quando o campo é fraco e o spin é diferente de zero, ocorre o efeito Zeeman anômalo, por acoplamento spin-órbita, com os níveis de energia calculados por Thomas Preston (1860-1900) [Radiation phenomena in a strong magnetic Magnetic Field, Proceedings Royal Society, 63 (1898)] e Alfred Landé (1888-1976) em 1920 e 1923, como

$E_k = E_n \pm kg\frac{ehB}{4\pi mc} = E_n \pm kg h \nu_L$

com o fator de Landé, g, dado por [G.E. Uhlenbeck & S. Goudsmit, 1925, Naturwissenschaften, 47, 953; 1926, Nature, 117, 264]:

$g = 1 + \frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$

onde J é o momentum angular total, S o momentum angular de spin e L o momentum angular orbital.

O número de componentes depende de J, L e S dos níveis superiores e inferiores. As observações perpendiculares ao campo mostram a componente $\pi$ linearmente polarizada paralela ao campo e as componentes $\sigma$ linearmente polarizadas perpendicular ao campo, enquanto que as observações paralelas ao campo mostram somente as componentes $\sigma$ , circularmente polarizadas.

$E_k = E_n \pm (k_L+2k_s)\frac{ehB}{4\pi mc} = E_n \pm (k_L+2k_s) h \nu_L$

onde os números quânticos

assumem valores entre $\pm L$ e $\pm S$ respectivamente, e as regras de seleção são $\Delta k_L=0,\pm 1$ e $\Delta k_S=0$ .

O termo quadrático do deslocamento Zeeman para o hidrogênio (F.A. Jenkins & E. Segré 1939, Physical Review, 55, 52) será da ordem de

$\Delta \lambda_q \simeq -4,98 \times 10^{-23} \lambda^2 n^4 (1+k^2)B^2~\mbox{\AA}$

onde

é o raio da primeira órbita de Bohr, n o número quântico principal e k o número quântico magnético (m_l+m_s) do nível superior.

Para as linhas de Balmer do hidrogênio, o deslocamento do centróide da componente $\sigma$ ( $m_l=\pm 1$ ) é o dobro daquela da componente $\pi$ (). O deslocamento quadrático da centróide será

$\langle \Delta \lambda_q\rangle = -7,5 \times 10^{-23} \lambda^2 n^4 B^2~\mbox{\AA}$

Por exemplo, $\langle \Delta \lambda_q\rangle=0,25$ Åpara Hα e 0,45 Å para Hβ em um campo de 1 MG.

De acordo com Anders Blom enquanto no sistema não perturbado os números quânticos são n, $\ell$ , $m_\ell$ e , de spin, com os estados degenerados em $m_\ell$ e , na presença de um campo magnético externo os $m_\ell$ e não são mais bons números quânticos, mas sim sua soma, $m=m_\ell + m_s$ . Desta forma, para $\ell=1$ , $m_\ell=\pm 1,0$ e $m_s=\pm 1/2$ , teremos quatro estados, com m=± 3/2 e ± 1/2.

Para um átomo hidrogênico,

$\Delta E_{n\ell m} = E_0 + \Delta E_{rel} + \Delta E_{\ell m}(B) + \Delta E_{Darwin}\delta_{\ell 0}$

onde

$E_0 = - \frac{\mu c^2}{2} \frac{(Z\alpha)^2}{n^2}$

é a energia não perturbada e μ a massa reduzida do elétron,

$\Delta E_{rel} = \frac{1}{2}m_e c^2 \frac{(Z\alpha)^2}{n^4}[\frac{3}{4}-\frac{n}{\ell+1/2}]$

Para $\ell=0$ o termo Darwin precisa ser incluído

$\Delta E_{Darwin} = \frac{m_e c^2}{2}\frac{(Z\alpha)^2}{n^3}$

e a contribuição linear para a energia devido à interação do campo magnético com o spin-órbita é

$\begin{eqnarray} \Delta E_{\ell m}(B) &=&W [\ell \pm (\ell +1)\frac{B}{B_0}] \quad |m| = \ell+\frac{1}{2}, \ell \neq 0\cr &=&\frac{W}{2}[ 2m\frac{B}{B_0} - 1 \pm \sqrt{(\frac{B}{B_0})^2 + 4m \frac{B}{B_0} + (2\ell+1)^2} \quad |m| = \ell-\frac{1}{2}, \ell \neq 0\cr &=&\pm B \mu_B \quad \ell=0 \end{eqnarray}$

onde

$W = \frac{m_e c^2}{4} \frac{(Z\alpha)^4}{n^3\ell(\ell+1/2)(\ell+1)}$

$B_0 = \frac{W}{\mu_B}$

é o campo interno, da ordem de 1 tesla = 10⁴ gauss para um átomo de hidrogênio. A solução para campo forte $B/B_0 \gg (2\ell+1)$ não depende de $\ell$ ,

$\Delta E_{\ell m}(B) = B \mu_B (m \pm \frac{1}{2})$

é chamada de efeito Zeeman normal, enquanto a solução de campo fraco é chama de efeito Zeeman anômalo. $\mu_B$ é o momento magnético do elétron (Bohr) e α é a constante de estrutura fina.

As regras de seleção para as transições advém da Fórmula de Ouro de Fermi, que indica que as transições de um estado a para um estado b só ocorrem se existe sobreposição dos dois estados, isto é, se $\langle b\vert\vec{r}\vert a \rangle$ for não nulo. Como cada estado $a=(n,\ell,m_\ell,m_s)$ , as regras resultam em

$\Delta m_s = 0 \quad\quad \Delta \ell=1 \quad\quad \Delta m_\ell = 0,\pm 1$

Para campos fortes, o termo quadrático mistura os níveis n. Dayal T. Wickramasinghe et al. (2000) mostra que isto ocorre para B>4700/n^7/2, isto é, para o n=1 isto ocorre em 4700 GG, mas para n=6 isto já ocorre em 9 MG.

Gary Schmidt, da Universidade do Arizona, afirma que quando se calcula corretamente pela mecânica quântica, não existem fórmulas simples e é melhor interpolar as tabelas de Hanns Ruder et al. (1994, Atoms in Strong Magnetic Fields: Quantum Mechanical Treatment and Applications in Astrophysics and Quantum Chaos, Springer-Verlag Telos). Isto ocorre porque os métodos perturbacionais usados falham completamente para campos da ordem de 10 MG e superiores, já que a simetria do campo Coulombiano é esférica e pode ser representado por esféricos harmômicos, e cilíndrica do campo magnético externo, o que não permite a separação de variáveis. Se representarmos por esféricos harmônicos, precisamos de uma base com 3600 termos, como usados por Günter Wunner, F. Geyer e Hanns Ruder (1987, Astrophysics and Space Science, 131, 595) ou 6400 termos (1987, Physica Scripta, 36, 291). Mesmo campos de 1 MG (100 Tesla) alteram completamente a estrutura eletrônica, pois as forças magnéticas atuando sobre o elétron, mesmo nos níveis mais baixos de energia, são da ordem das forças coulombianas. Estes artigos trazem os comprimentos de onda para Hβ e Hγ para campos de 4,7 a 470 MG. H. Forster, W. Strupat, W. Rösner, Günter Wunner, Hanns Ruder & H. Herold, de Tübingen (1984, J. Phys. B: Atomic and Molecular Physics, 17, 1301) trazem os valores de Hα. Por exemplo, a componente 3d-1-2p-1 se desloca de 6565 Å para B=0.47 MG, para 6562 Å para 4.7 MG, 6462 Å para 32.9 MG, 6370 Å para 47 MG, 5980 Å para 94 MG, 5577 Å para 141 MG, 4900 Å para 235 MG, 4391 Å para 329 MG e 3839 Å para 470 MG.

Posição das linhas de hidrogênio para distintos valores do campo magético, de acordo com Christoph Schimeczek & Günter Wunner (2014, Astrophysical Journal Supplement, 212, id. 26).

Günter Wunner e Hanns Ruder também lembram que existe uma variação de pelo menos um fator 2 de inomogeneidades do campo para um dipolo. O deslocamento Zeeman observado nas linhas das estrelas representa o campo médio na superfície da estrela. Se o campo tiver a forma de um dipolo, o campo médio está relacionado ao campo polar por

B = 1/2 B_p

√

1+3 cos² θ

onde B_p é o campo polar e θ é o ângulo entre o campo e a linha de visada.

Mais precisamente, para campos mais fortes que 10 kG, mas mais fracos que 2 MG, isto é, no limite de Paschen-Back, as linhas de mais baixo n (n>4) serão separadas em três componentes, com as componentes laterais separadas por cerca de

Δλ = ±4.67×10^-7 λ² B

com λ em Ångstrons e B em MG.

O deslocamento quadrático é dado por

Δλ_q = -

e²

a₀²

8mc³ hλ² n⁴ (1+m_l²)B² =-4.97 ×10^-23 λ² n⁴ (1+m_l²)B² Å

onde a₀ é o raio de Bohr, e m_l o número quântico magnético. Esta fórmula é válida para as transições de 2p para ns e 2p para nd, onde n é o número quântico principal. Para as transições de 2s para np,

Δλ_q=-4.97 ×10^-23 λ² [n²(n²-1)(1+m_l²-28)B² Å

(Jenkins F.~A., Segré E., 1939, PhRv, 55, 52). Note que por causa da dependência com n⁴ do efeito Zeeman quadrático, mesmo campos de 1 MG, mostram deslocamentos quadráticos para n>7.

Espectros de anãs brancas magnéticas publicados por S. O. Kepler, Ingrid Pelisoli, Stefan Jordan, Scot J. Kleinman, Detlev Koester, Baybars Külebi, Viviane Peçanha; Bárbara Garcia Castanheira, Atsuko Nitta, José Eduardo da Silveira Costa, Don Earl Winget, Antonio Kanaan & Luciano Fraga (2013, Magnetic white dwarf stars in the Sloan Digital Sky Survey, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society) para as estrelas a) Plate-MJD-Fiber=1954-53357-393, 13 MG, SDSS~J101428.10+365724.40, b) 0415-51879-378, 11 MG, J033145.69+004517.04, c) 1616-53169-423, 2.4 MG, 123414.11+124829.58, d) 2277-53705-484, 2.2 MG, 083945.56+200015.76. e) 2772-54529-217, 2.2 MG, 141309.30+191832.01, f) 2694-54199-175, 1.7 MG, 064607.86+280510.14, g) 2376-53770-534, 2.6 MG, 103532.53+212603.56, h) 2417-53766-568, 9.9 MG, 031824.20+422651.00, i) 2585-54097-030, 14 MG, 100759.81+162349.64, j) 2694-54199-528, 1.3 MG, 065133.34+284423.44, k) 0810-52672-391, 11 MG, 033145.69+004517.04, l) 1798-53851-233, 14 MG, 131508.97+093713.87, m) 2006-53476-332, 19 MG, 125715.54+341439.38, n) 2644-54210-167, 1.9 MG,121033.24+221402.64, o) 2430-53815-229, 2.5 MG, 085106.13+120157.84. As linhas vermelhas são modelos não magnéticos, obviamente inadequados.

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