Determinação das incertezas

A maneira correta de determinar as incertezas nos parâmetros é calculando a variança de um parâmetro qualquer

$\sigma_z^2 \equiv \langle (\Delta z)^2\rangle$

onde o quadrado é necessário para que grandes incertezas negativas não se anulem com grandes incertezas positivas,

significa a média e onde

$\Delta z = z_{calculado}-z_{observado}$

Agora suponhamos que

seja uma função de duas variáveis

. Podemos expandir por série de Taylor [Brook Taylor (1685-1731), Methodus incrementorum directa et inversa (1715)]:

$\Delta z = \frac{dz}{dx}\Delta x + \frac{dz}{dy}\Delta y$

de onde obtemos:

$\sigma_z^2 \equiv \langle (\Delta z)^2\rangle$		$\Bigg\langle \left(\frac{dz}{dx}\Delta x + \frac{dz}{dy}\Delta y\right)^2\Bigg\rangle$
		$\Bigg\langle \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \left(\Delta x\right)^2... ... x \Delta y + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \left(\Delta y\right)^2 \Bigg\rangle$

Se as variáveis

são separáveis, podemos reduzir a equação acima a

$\sigma_z^2 = \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \big\langle \left(\Delta ...left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \big\langle \left(\Delta y\right)^2 \big\rangle$

e, por definição:

$\sigma_x^2 \equiv \langle (\Delta x)^2\rangle$

$\sigma_y^2 \equiv \langle (\Delta y)^2\rangle$

$\sigma_{xy}^2 \equiv \langle \Delta x \Delta y\rangle$

de modo que

$\sigma_z^2 = \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \sigma_x^2 + 2\frac{dz}{dx} \frac{dz}{dy} \sigma_{xy}^2 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2 \sigma_y^2$

Por exemplo, da equação do CCD, que descreve as contribuições dos diversos tipos de ruído nas medidas, supondo que tenhamos

fotoelétrons (contagens) detectados de um objeto, o ruído estatístico (Poissoniano) da medida será dado por $R=\sqrt{N_*}$ . Mas em um CCD temos outras fontes de ruído:

$R=\sqrt{N_*+n_{pix}(1+\frac{n_{pix}}{n_B}) (N_B + N_D + N_R^2 + G^2 \sigma_f^2)}$

onde

	número total de contagens coletadas do objeto (em elétrons)
$n_{pix}$	número de pixels considerados
	número de pixeis de fundo (céu)
	número total de contagens por pixel de fundo (céu, em elétrons)
	número total de contagens por pixel de corrente de escuro (térmicos, em elétrons)
	ruído de leitura por pixel (em elétrons)
	Ganho do detector (número de elétrons/ADU)
$\sigma_f$	$\sigma$ da contagem fracional perdida na discretização por pixel (em ADU)

Desta forma, a incerteza na medida do número de elétrons é dada pelo seu ruído,

Mas quando convertemos estas contagens em magnitudes observadas em um certo filtro, representado pelo seu comprimento de onda efetivo, temos outras incertezas:

$m^o_\lambda= -2,5 \log F_\lambda + C_\lambda$

onde $F_\lambda$ é o fluxo medido, que pode ser o número de fótons detectados por unidade de tempo por unidade de área, ou a energia correspondente, e $C_\lambda$ a constante do ponto zero daquela magnitude (correspondente ao fluxo de uma estrela de magnitude zero), e $\sigma(F_\lambda)=R$ .

Neste caso, como $\frac{d\log x}{dx}=\frac{1}{x \ln 10}$

$\sigma(m^o_\lambda) = -2,5 \frac{1}{F_\lambda \ln 10}\sigma(F_\lambda)$

Mas ainda temos que transformar as magnitudes para um sistema padrão:

$m_\lambda = m^o_\lambda + a + b(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) + k_\lambda x$

de modo que

$\sigma^2(m_\lambda)$$		$$\sigma(b)^2 (m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})^2 + b^2\sigma(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})^2 + \sigma(k_\lambda)^2 x^2 + k_\lambda^2 \sigma(x)^2+2\sigma(m^o_\lambda,a) +2\sigma(m^o_\lambda,b)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(m^o_\lambda,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b +2\sigma(m^o_\lambda,k_\lambda)x +2\sigma(m^o_\lambda,x)k_\lambda +2\sigma(a,b)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(a,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b +2\sigma(a,k_\lambda)x +2\sigma(a,x)k_\lambda +2\sigma(b,m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1})b (m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) +2\sigma(b,k_\lambda)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) x +2\sigma(b,x)(m^o_\lambda-m^o_{\lambda_1}) k_\lambda +2\sigma(k_\lambda,x)k_\lambda x$

onde $\sigma(x)$ é a variação da massa de ar durante a exposição. Os coeficientes são calculados pela matriz de covariança.

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