Atmosferas Estelares

Quando discutimos transporte radiativo, escrevemos a equação de transporte radiativo:

$ \frac{dI_\nu}{ds} = -K_\nu I_\nu + j_\nu$ (1)

onde $ ds$ é o elemento de comprimento, A profundidade ótica $ \tau_\nu$ foi definida como

$ \tau_\nu = \int_o^s K_\nu ds'$ (2)

de modo que $ d\tau_\nu = K_\nu ds$.

A função fonte $ S_\nu$ é definida pela equação

S_\nu \equiv \frac{j_v}{K_\nu} (3)

Em equilíbrio termodinâmico local (ETL),

$ \frac{dI}{ds} = 0 \longrightarrow I = \frac{j}{K}$ (4)

e nenhuma radiação será transportada. Para simplificar, estamos neste momento tratando do caso integrado em freqüência. Como

$ E = \frac{1}{c}\int Id\omega = \frac {4\pi}{c}I$ (5)

Mas sabemos que em equilíbrio termodinâmico local $ E=aT^4$, logo

$ I = \frac{j}{K} = \frac{c}{4\pi}aT^4 = \frac{\sigma}{\pi}T^4 = B(T)$ (6)

isto é, em ETL a função fonte é dada pela função de Planck $ B_\nu$. Se dividirmos a eq. (1) por $ K_\nu$, podemos escrever

$ \frac{dI_\nu}{d\tau_\nu} = -I_\nu + S_\nu$ (7)

ou

$ \frac{d(I_\nu e^{\tau_\nu})}{d\tau_\nu} = e^{\tau_\nu}S_\nu$ (8)

que podemos integrar, obtendo

$ I_\nu(\tau_\nu) = I_\nu(0)e^{\tau_\nu} + \int_0^{\tau_\nu} e^{-(\tau_\nu-\tau_\nu')}S_\nu(\tau_\nu')d\tau_\nu'$ (9)

Se a função fonte for independente da profundidade ótica,
$ I_\nu(\tau_\nu)$ $ =$ $ I_\nu(0)e^{-\tau_\nu} + S_\nu(1-e^{-\tau_\nu})$ (10)
  $ =$ $ S_\nu+e^{-\tau_\nu}[I_\nu(0)-S_\nu]$ (11)

Se houver equilíbrio termodinâmico local, $ I_\nu(0)$ e $ S_\nu$ são iguais a $ B_\nu(T_0)$ e $ B_\nu(T)$, onde $ T_0$ é a temperatura na camada onde $ \tau=0$. Para $ \tau\gg 1$, $ I_\nu = B_\nu(T)$ e

$ I_\nu(\tau_\nu) = B_\nu(T_0)(1-\tau_\nu) +B_\nu(T)\tau_\nu$ (12)

O fluxo através da superfície da estrela, integrado sobre todas as freqüências é dado por

$ F = 2\pi \int_0^\infty \cos\theta I_\nu {sen}\,\theta d\theta d\nu \equiv \sigma T_{ef}^4 = \frac{L}{4\pi R^2}$ (13)

Substituindo $ I_\nu = B_\nu(T)$, obtemos

$ F = \pi \int_0^\infty B_\nu(T)d\nu = \frac{ac}{4}T^4$ (14)

Se considerarmos uma atmosfera plano-paralela e assumirmos que o coeficiente de absorção $ K_\nu$ é independente da freqüência, podemos escrever a equação de transporte radiativo como:

$ -\cos\theta \frac{dI_\nu(\theta)}{d\tau} = -I_\nu(\theta) + \frac{j_\nu}{K}$ (15)

onde $ \theta$ é o ângulo entre a normal e a direção considerada. Integrando sobre freqüência,

$ -\cos\theta \frac{dI(\theta)}{d\tau} = -I + \frac{j}{K}$ (16)

Integrando-se agora a eq. (16) sobre o ângulo sólido $ d\omega=2\pi {sen}\,\theta s\theta$, e lembrando-se das nossas definições:

$ E = \frac{1}{c}\int I(\theta)d\omega$ (17)

$ F = \int I(\theta)\cos\theta d\omega$ (18)

e

$ P_r = \frac{1}{c}\int I(\theta)\cos^2\theta d\omega$ (19)

podemos escrever

$ \frac{dF}{d\tau} = cE-\frac{4\pi j}{K}$ (20)

Como em uma atmosfera estelar plana o fluxo é constante (define-se uma atmosfera plana justamente para não termos a variação de área de uma casca esférica), esta equação se reduz a

$ j=K\frac{cE}{4\pi}$ (21)

Multiplicando-se a equação (16) por $ \cos\theta$ e integrando-se sobre o ângulo sólido, obtemos

$ c\frac{dP_r}{d\tau} = F$ (22)

e sua integral

$ cP_r=F\tau+{constante}$ (23)

Se assumirmos que $ I(\theta)$ pode ser aproximado como

$ I=I_1 \quad (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ (24)

$ I=I_2 \quad (\frac{\pi}{2} < \theta < \pi)$ (25)

isto é, o fluxo saindo da estrela é dado por $ I_1$ e o fluxo entrando na estrela por $ I_2$, podemos integrar as equações (17), (18) e (19) obtendo:

$ \frac{cE}{4\pi} = \frac{1}{2}(I_1+I_2)$ (26)

$ \frac{F}{4\pi} = \frac{1}{4}(I_1-I_2)$ (27)

e

$ P_r = \frac{1}{3}E$ (28)

Tendo em vista que não existe entrada de radiação pela atmosfera, assumimos que $ I_2=0$ para $ \tau=0$. Logo $ cE=2F$ em $ \tau=0$ e a constante da equação (23) pode ser obtida:

cE=3{constante} = 2F \longrightarrow {constante}= \frac{2}{3}F
Portanto podemos escrever a equação (23) como

$ cE=F(2+3\tau)$ (29)

Sabemos que nas condições de equilíbrio termodinâmico local e assumindo $ K_\nu$ independente da freqüência, a função fonte (eq. 3) é dada pela função de Planck, e podemos escrever

$ j_\nu = KB_\nu(T)$ (30)

onde $ B_\nu(T)$ é a função de Planck. Como

$ \frac{cE}{4\pi} = \frac{j}{K} = \int_o^\infty B_\nu(T) = \frac{\sigma T^4}{\pi}$ (31)

podemos escrever eq. (29) como

$ \frac{\sigma T^4}{\pi} = \frac{F}{4\pi}(2+3\tau)$ (32)

e como o fluxo $ F$ é dado por

$ F\equiv \sigma T_{ef}^4$ (33)

A eq. (32) pode ser escrita como:

$ T^4 = \frac{T_{ef}^4}{2}(1+\frac{3}{2}\tau)$ (34)

demonstrando que a temperatura é igual à temperatura efetiva para $ \tau=2/3$.

Da nossa definição de temperatura efetiva:

$ L = 4\pi R^2 \sigma T_{ef}^4$ (35)

e $ T=T_{ef}$ para uma profundidade ótica $ \tau=2/3$, podemos usar a equação de equilíbrio hidrostático

$\frac{dP}{dr} = - g_s \rho$ (36)

e a definição de profundidade ótica $ d\tau = -K\rho dr$ para escrever

$ \frac{dP}{d\tau} = \frac{g_s}{K}$ (37)

e integrar

$P_f = g_s\int_0^{\tau_f} \frac{1}{K}d\tau \simeq \frac{g_s}{K_f}{\tau_f}$ (38)

e finalmente, substituindo $ \tau_f = 2/3$ obter uma estimativa para a pressão na fotosfera de

$P_f = \frac{2}{3}\frac{g_s}{K_f}$ (39)

onde $ K_f$ representa a opacidade na fotosfera. Esta é a pressão na fotosfera, isto é, na mesma camada com T=Tef.
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Modificada em 15 março 2006