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A Equação de Transporte Radiativo

Vamos derivar a relação entre o fluxo de radiação e o gradiente de temperatura. Descrevendo o campo de radiação por sua intensidade $I(r,\theta)$ , energia por unidade de área, por unidade de tempo, e por unidade de ângulo sólido (esferorradiano), a uma distância do centro da estrela, e em uma direção inclinada de um ângulo $\theta$ do raio vetor.

**Figura 1.4:** Intensidade e Ângulo Sólido

Considere os ganhos e perdas que a radiação sofre, dentro de um ângulo sólido

, por unidade de tempo, em um cilindro com seção de choque

e comprimento $d\ell$ , equivalente ao raio vetor

, e

. A intensidade de radiação entrando pela base será:

$+I(r,\theta)\,dw\,ds,$$

enquanto a perda correspondente na superfície superior será:

$-I(r+dr,\theta+d\theta)\,dw\,ds.$$

$\epsfig {file=dldr.eps,height=5cm,clip=}$

Na última expressão, o incremento em

ocorre porque o topo do cilindro está mais longe do centro do que a base, e o incremento em $\theta$ ocorre porque a curvatura introduzida pela simetria esférica leva o topo vertical do cilindro a estar inclinado em relação à base.

A perda de energia por unidade de tempo por absorção sobre o comprimento do cilindro será de:

$-Idwds \times K\rho d\ell$

Finalmente, precisamos incluir a emissão dos gases no cilindro. Seja

a energia total emitida, por unidade de massa, por unidade de tempo, isotropicamente em todas as direções. A emissão de toda a matéria no cilindro, na direção contida pelo ângulo sólido

será então:

$+ j\rhodsd\ell\frac{dw}{4\pi}$

Se aplicarmos a condição de equilíbrio térmico especificamente para o campo de radiação, exigimos que os ganhos da radiação balancem exatamente as perdas, isto é, que a soma dos termos seja nula:

$I(r,\theta)dwds-I(r+dr,\theta+d\theta)dwds-I(r,\theta)dwds K\rho d\ell +j\rho ds d\ell \frac{dw}{4\pi} = 0.$$

Como, para um elemento infinitesimal:

$I(r+dr,\theta+d\theta)-I(r,\theta)= \frac{\partial{I}}{\partial{r}}dr + \frac{\partial{I}}{\partial{\theta}}d\theta,$$

assumindo $\partial{I}/\partial{\phi}=0$ , e simplificando $dw\,ds$ em todos os termos, obtemos

${-\frac{\partial{I}}{\partial{r}}dr - \frac{\partial{I}}{\partial{\theta}}d\theta -IK\rho d\ell + \frac{j\rho}{4\pi}d\ell=0.}$$

Usando as relações geométricas:

$d\ell=\frac{dr}{\cos\theta},\quad d\theta=-\frac{d\ell\, \mathrm{sen}\,\theta}{r},$$

obtemos

$d\theta=-\frac{dr sen\theta}{r\cos\theta$

$\frac{\partial I}{\partial r}\cos\theta -\frac{\partial I}{\partial \theta} \frac{{sen}\theta}{r} + IK\rho - \frac{1}{4\pi}j\rho = 0.$$

(1.36)

Esta é a equação básica de transporte radiativo, que precisa ser obedecida a cada ponto da estrela.

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