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Seção de Choque e Taxa de Reação

O equilíbrio energético nos dá a energia liberada em cada reação nuclear; se considerarmos a reação genérica

$$a + X \longrightarrow Y + b$$ (1.67)

o princípio de conservação de energia demanda a igualidade:

$E_{aX}+(M_a+M_X)c^2 = E_{bY}+(M_b+M_Y)c^2,$

onde $E_{aX}$ é a energia cinética do centro de massa de $a$ e $x$, e $E_{bY}$ é energia cinética do centro de massa de $b$ e $Y$. Com a energia liberada por reação,

$E_{liberada} = E_{bY}-E_{aX}= [(M_a+M_X)-(M_b+M_Y)]c^2,$

e com o número de reações por unidade de volume por segundo, podemos calcular a energia liberada por unidade de volume por segundo. Para isto, precisamos definir a seção de choque da reação, $\sigma$. A seção de choque é uma medida da probabilidade de ocorrência da reação, por par de partículas. Na nossa reação genérica, em que um núcleo $X$ é bombardeado por um fluxo uniforme de partícula $a$, a seção de choque é definida como:

$\sigma({cm^2})$

O nome seção de choque advém da unidade, área, e porque o número de reações pode ser calculado assumindo-se que o núcleo $X$ tem uma área $\sigma$ e que uma reação ocorre sempre que uma partícula $a$ atinge aquela área.

Supondo que o núcleo $X$ tem uma densidade numérica $N_X$, a taxa de reação por unidade de volume será dada pelo produto $\sigma N_X$ e pelo fluxo de partículas $a$. Supondo que o fluxo de partículas $a$ é dado pela translação uniforme, com velocidade $v$, de partículas com densidade $N_a$, ou seja, o fluxo é $vN_a$. A taxa de reações será então dada por

$$r = \sigma(v)vN_aN_X\frac{1}{1+\delta_{aX}}$$ (1.68)

onde $\delta_{aX}$ é o delta de Kronecker [Leopold Kronecker (1823-1891)] ($\delta_{aa}=1$, $\delta_{aX}=0$, se $a\not= X$). Este último fator leva em conta que não devemos contar duplamente as partículas idênticas.
A velocidade $v$ é a velocidade relativa entre as partículas $a$ e $X$. Se o gás estiver em equilíbrio termodinâmico, existe um espectro de velocidades $\phi(v)$, definido de modo que

$\int_0^\infty \phi(v)dv=1.$

Neste caso, $\phi(v)dv$ representa a probabilidade que a velocidade relativa esteja no intervalo $v$ e $v+dv$, e a taxa de reação total, por unidade de volume será dada por:

$$r_{aX} = N_a N_X\frac{1}{1+\delta_{aX}} \int_0^\infty v\sigma_{aX}(v)\phi(v)dv = N_a N_X \langle\sigma v\rangle \frac{1}{1+\delta_{aX}}$$ (1.69)

Como um estado $i$ com uma largura energética natural $\Gamma_i$, pelo princípio da incerteza, decai em um tempo $\tau_i$, definido como

$$\Gamma_i\tau_i = \hbar$$ (1.69a)

a probabilidade de decaimento pelo canal $i$ é dada por:

$$P_i = \frac{1/\tau_i}{\sum_j (1/\tau_j)} = \frac{\tau}{\tau_i}$$ (1.69b)

onde

$$\tau \equiv (\sum_j \frac{1}{\tau_j})^{-1}$$ (1.69c)

é o tempo de vida médio total do estado com largura natural $\Gamma = \sum_j \Gamma_j$; de modo que a probabilidade de decaimento pelo canal $i$ pode ser expressa como:

$$P_i = \frac{\Gamma_i}{\Gamma}$$ (1.69d)

Portanto, o fator $\Gamma_a\Gamma_b/\Gamma\Gamma$ nos dá a probabilidade de reagir $a+X$, resultando em $b+Y$.

$$\langle \sigma v \rangle_{ab} = \langle \sigma v \rangle_{aX} \frac{\Gamma_a \Gamma_b}{\Gamma^2}$$ (1.69e)

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