FIS2001 - LISTA DE EXERCÍCIOS 3

Gravitação Universal, Forças diferenciais gravitacionais e Planetologia

1. O semi-eixo maior da órbita do planetóide 1982RA é de 1,568 UA.
   1. Se em 8 de outubro de 1982 a distância ao Sol desse objeto era 1,17 UA, qual a sua velocidade nessa data?

   2. Qual o período desse objeto?

2. Um satélite é lançado a 300 km de altura da superície da Terra, com velocidade paralela á superfície.
   1. Qual o valor de sua velocidade para descrever uma órbita circular?

   2. E para descrever uma órbita parabólica?

   3. E para descrever uma órbita elíptica com excentricidade 0,05 e perigeu no ponto de lançamento?

3. Qual a velocidade de escape da Terra ( $M_{Terra} = 5,9 \times 10^{24}$ kg, $R_{Terra}$ = 6370 km), para uma partícula na sua superfície? E para uma partícula a 1000 km de sua superfície?

4. Qual é raio de um buraco negro com massa igual à massa da Terra ?

5. Calcule a velocidade orbital média da Terra e o seu momentum angular orbital.

6. Considere um cometa com uma distância no afélio de $5 \times 10 ^4$UA e uma excentricidade orbital de 0,995.
   1. Qual é a distância do cometa ao sol no perihélio?

   2. Qual o seu período orbital?

   3. Quais suas velocidades no perihélio e no afélio?

   4. Quanto vale o momentum angular orbital do cometa?

7. A partir da equação da órbita onde r, a , e são definidos como na figura,
   
   mostre que, para = 0° e = 180°, essa equação dá a posição do periélio (r = a(1-e)) e do afélio (r=a(1+e)), respectivamente.
8. A partir da segunda lei de Kepler, prove que o momentum angular de um planeta vale: $h = \frac{2\pi\,a\,b}{P}$. Então use o conceito de momentum angular $h = r\,v\, \sin \theta$= constante, onde $\theta$ é o ângulo entre o vetor posição $\vec{r}$ e o vetor velocidade $\vec{v}$, para mostrar que as velocidades no afélio e no periélio valem, respectivamente;

   
   

   $$v_{af} = \frac{2\pi\,a{(1-e)}^{1/2}}{P\,{(1+e)}^{1/2}}$$
   
   
   e
   
   $$v_{per} = \frac{2\pi\,a{(1+e)}^{1/2}}{P\,{(1-e)}^{1/2}}$$
   
   

   Qual a razão $v_{ap}/v_{per}$ para a Terra?

9. A trajetória elíptica de menor energia para uma espaçonave ir de um planeta a outro não é uma linha reta, mas sim uma órbita elíptica em torno do Sol, cujo periélio toca a órbita do planeta mais interno e cujo afélio toca a órbita do planeta mais externo. Para uma trajetória assim entre a Terra e Saturno, sabendo que o raio médio da órbita da Terra é 1 UA e o raio médio da órbita de Saturno é 9,5 UA, calcule:
   1. o semi-eixo maior da órbita

   2. o tempo de viagem (ida e volta)

   3. a velocidade no lançamento (periélio)

   4. a velocidade no afélio

10. Calcule a razão entre a força de maré na Terra, causada pelo Sol, e a força de maré na Terra, causada pela Lua. Qual é a maior? Quantas vêzes é maior?

11. Calcule razão entre a força de maré na Lua, causada pela Terra, e compare com a força de maré na Terra, causada pela Lua. Qual é a maior? Quantas vêzes é maior?

12. Se a maré alta, hoje, acontece ao meio dia, a que horas ocorrerá a próxima maré alta? E a seguinte?

13. O que é precessão? Qual o seu efeito na posição das estrelas? Ela tem efeito nas estações? Explique. Por que o ponto Áries tem esse nome se ele se localiza na constelação de Peixes?

14. Explique por que um satélite grande tem uma probabilidade maior de ser quebrado pelas forças de maré do que um satélite pequeno.

15. Quais os dois tipos básicos de planetas encontrados no sistema solar? Quais as diferenças básicas dos dois tipos?
16. Liste os nomes dos planetas do sistema solar, em ordem de distância ao Sol.

17. Descreva os aspectos básicos da hipótese nebular para a formação do sistema solar, e dê três exemplos de como essa teoria explica alguns aspectos observados atualmente no sistema solar.

18. Seja um átomo de massa $m$ na atmosfera de um planeta de massa $M$, raio $R$ e temperatura atmosférica $T$. Sabendo que a energia cinética média das partículas de um gás é dada pela expressão

    
    

    $$E_{cin} = \frac{1}{2}m\,v^2 = \frac{3}{2}\,k\,T$$
    
    

    onde $v$ é a velocidade média das partículas, e k = 1,38 $\times 10^{-23}\,$J/K, deduza uma expressão para a temperatura mínima da atmosfera do planeta para que os átomos de massa $m$ escape de seu campo gravitacional. Expresse essa temperatura em termos de $m$, $k$ e $v_e$, a velocidade de escape do planeta.

19. Calcule a temperatura máxima que a Terra deveria ter para ter hidrogênio atômico ($m_H$ = 1,6 $\times 10^{-27}\,$kg em sua atmosfera. E a temperatura mínima para que o oxigênio($m_O$ = 16 $m_H$) escapasse de sua atmosfera.

20. Cientistas calculam que o impacto ocorrido em 1908, em Tunguska, liberou uma energia de 15 Megatons (1 ton = 4,2 $\times 10^{16}$ ergs).Qual o tamanho provável do asteróide impactante? Suponha que a densidade do asteróide é 3 g/cm$^3$, e que a velocidade do asteróide no impacto era igual à velocidade de escape da Terra.

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