Área de uma elipse:

elipse

Em coordenadas cartesianas:

r12 = (x + ae)2 + y2                           (a)
r2 = (x - ae)2 + y2                           (b)
Subtraindo-se (a) - (b), temos:
r1 = a + ex                                        (c)
Levando-se em conta que o semi-eixo menor é dado por b2 = a2(1 - e2), o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pitágoras colocando-se o ponto P(r,θ) em θ=90°
elipse
e substituindo-se em (c) em (a), temos a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas:

({x \over a}$)^2 + (y \over b)^2 = 1

x = a\sqrt{1-\left({y \over b}\right)^2}
A área da elipse é dada por:

A = 4$\displaystyle \int_{0}^{b}$dy$\displaystyle \int_{o}^{x}$dx.

A = 4$\displaystyle \int_{0}^{b}$a$\displaystyle \sqrt{1-({y \over b})^2}$ dy,

Substituindo-se y = bsin z, e dy = bcosz dz,

A = 4ab$\int_{0}^{\pi/2}$$\sqrt{1-(\sin z)^2}$ cosz dz

e como sin2z + cos2z = 1, logo 1 - sin2z = cos2z, resulta:

A = 4ab$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}$cos2z dz.

Como

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}$cos2z dz = $\displaystyle \pi$/4,

A= \pi ab


[*] [*]
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Modificada em 5 abril 2000