Área de uma elipse:

Em coordenadas cartesianas:

r₁² = (x + ae)² + y²                           (a)

r² = (x - ae)² + y²                           (b)

Subtraindo-se (a) - (b), temos:

r₁ = a + ex                                        (c)

Levando-se em conta que o semi-eixo menor é dado por b² = a²(1 - e²), o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pitágoras colocando-se o ponto P(r,θ) em θ=90°

e substituindo-se em (c) em (a), temos a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas:

+ = 1

x = a

A área da elipse é dada por:

A = 4$$\int_{0}^{b}$$dy$$\int_{o}^{x}$$dx.

A = 4$$\int_{0}^{b}$$a$$\sqrt{1-({y \over b})^2}$$ dy,

Substituindo-se y = bsin z, e dy = bcosz dz,

A = 4ab$\int_{0}^{\pi/2}$$\sqrt{1-(\sin z)^2}$ cosz dz

e como sin²z + cos²z = 1, logo 1 - sin²z = cos²z, resulta:

A = 4ab$$\int_{0}^{\pi/2}$$cos²z dz.

Como

$$\int_{0}^{\pi/2}$$cos²z dz = $$\pi$$/4,

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Astronomia e Astrofísica