Equação do movimento

Da lei da gravitação se pode derivar as leis de Kepler. Aplicando-se a lei da gravitação e a segunda lei do movimento
($ \vec F = m \cdot \vec\dot{r}$), temos:

\ddot{\vec r}_m = -G {Mm \over r^3} \vec r

e pela lei da ação e reação,

M \ddot{\vec r}_M = G {Mm \over r^3} \vec r

onde

$\displaystyle \vec{r}\,$ = $\displaystyle \vec{r}_{m}^{}$ - $\displaystyle \vec{r}_{M}^{}$,

e $ \vec{r}_{m}^{}$ e $ \vec{r}_{M}^{}$ são os vetores posição de m e M com relação a um sistema inercial.

Estas equações podem ser escritas como:

$\displaystyle \ddot{\vec r}_{m}^{}$ = - $\displaystyle {GM \over r^3}$$\displaystyle \vec{r}\,$,
$\displaystyle \ddot{\vec r}_{M}^{}$ = $\displaystyle {Gm \over r^3}$$\displaystyle \vec{r}\,$.

Subtraindo-se estas duas equações:
$\displaystyle \ddot{\vec r}$ = - $\displaystyle {G(M+m) \over r^3}$$\displaystyle \vec{r}\,$.

Definindo-se $ \mu$ = G(m + M), podemos escrever:
{\ddot{\vec r} + \frac{\mu}{r^3} \vec r = 0                                           (1)
Esta é a equação diferencial vetorial do movimento relativo de dois corpos. A solução desta equação nos dá a órbita relativa dos corpos (planeta, cometa, satélite, etc). Em princípio, a solução descreve como o raio vetor \vec{r} varia com o tempo, mas sua solução não é simples. Como a equação é diferencial vetorial de segunda ordem, isto é, envolve segunda derivada de vetores, precisamos de seis constantes para obter a solução. Por exemplo, se soubermos a posição tridimensional e a velocidade de um planeta num certo tempo, poderemos calcular sua posição e velocidade em qualquer outro tempo.

Nossa solução envolve demonstrar que a conservação da energia e do momentum angular são conseqüências das leis de Newton.


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Modificada em 6 Abril 2000