Equação do movimento

Da lei da gravitação se pode derivar as leis de Kepler. Aplicando-se a lei da gravitação e a segunda lei do movimento ($\vec F = m \cdot \vec\dot{r}$), temos:

e pela lei da ação e reação,

onde

$$\vec{r}\,$$ = $$\vec{r}_{m}^{}$$ - $$\vec{r}_{M}^{}$$,

e $\vec{r}_{m}^{}$ e $\vec{r}_{M}^{}$ são os vetores posição de m e M com relação a um sistema inercial.

Estas equações podem ser escritas como:

$$\ddot{\vec r}_{m}^{}$$ = - $${GM \over r^3}$$$$\vec{r}\,$$,

$$\ddot{\vec r}_{M}^{}$$ = $${Gm \over r^3}$$$$\vec{r}\,$$.

Subtraindo-se estas duas equações:

$$\ddot{\vec r}$$ = - $${G(M+m) \over r^3}$$$$\vec{r}\,$$.

Definindo-se μ=G(m + M), podemos escrever:

                                          (1)

Esta é a equação diferencial vetorial do movimento relativo de dois corpos. A solução desta equação nos dá a órbita relativa dos corpos (planeta, cometa, satélite, etc). Em princípio, a solução descreve como o raio vetor varia com o tempo, mas sua solução não é simples. Como a equação é diferencial vetorial de segunda ordem, isto é, envolve segunda derivada de vetores, precisamos de seis constantes para obter a solução. Por exemplo, se soubermos a posição tridimensional e a velocidade de um planeta num certo tempo, poderemos calcular sua posição e velocidade em qualquer outro tempo.

Nossa solução envolve demonstrar que a conservação da energia e do momentum angular são conseqüências das leis de Newton.

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