Conservação da Energia Total do Sistema

Iniciamos com a equação de movimento (1) que derivamos:
{\ddot{\vec r} + \frac{\mu}{r^3} \vec r = 0                                           (1)

Multiplicando-se a equação (1) escalarmente por $ \dot{\vec r}$ temos:

$ \dot{\vec r}$ . $ \ddot{\vec r}$ + $ {\mu \over r^3}$$ \vec{r}\,$ . $ \dot{\vec r}$ = 0.
Como $ \vec{v}\,$ = $ \dot{\vec r}$ e $ \dot{\vec v}$ = $ \ddot{\vec r}$ temos:
$ \vec{v}\,$ . $ \dot{\vec v}$ + $ {\mu \over r^3}$$ \vec{r}\,$ . $ \dot{\vec r}$ = 0.
Seja $ \alpha$ o ângulo entre o raio vetor e a velocidade:
$ \vec{r}\,$ . $ \dot{\vec r}$ = r v cos$ \alpha$
$ \vec{v}\,$ . $ \dot{\vec v}$ = $ \dot{\vec r}$ . $ \ddot{\vec r}$ = v $ \dot{v}$ cos(- $ \alpha$)
Tendo em vista que cos(- $ \alpha$) = cos $ \alpha$ e ainda que o primeiro termo da equação
$ {d \over dt}$ $ \left(\vphantom{{v^2 \over 2}}\right.$ $ {v^2 \over 2}$ $ \left.\vphantom{{v^2 \over 2}}\right)$ = v $ \dot{v}$
e o segundo termo da equação é:
$ {d \over dt}$ $ \left(\vphantom{{\mu \over r}}\right.$ $ {\mu \over r}$ $ \left.\vphantom{{\mu \over r}}\right)$ = - $ {\mu \dot r \over r^2}$ $ {r \over r}$ = - $ {\mu \dot r r \over r^3}$
então podemos escrever nossa equação como:
$ {d \over dt}$ $(\vphantom{{1 \over 2}v^2-{\mu \over r}}$ $ {1 \over 2}$v2 - $ {\mu \over r}$ $ \vphantom{{1 \over 2}v^2 - {\mu \over r}})$ = 0
de onde se conclui imediatamente que o termo derivado é uma constante, já que sua derivada é nula:
$ {1 \over 2}$v2 - $ {\mu \over r}$ = $ \epsilon$ = constante                                           (2)
$ {1 \over 2}$v2 - $ {G(m+M) \over r}$ = $ \epsilon$ = constante
que é a equação de energia do sistema ($ \epsilon$ = energia por unidade de massa)


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Modificada em 30 jun 1998