2. ECUACIÓN DEL TRANSPORTE RADIATIVO EN COORDENADAS

       ESFÉRICAS

 

Sea una estrella esférica cuyo centro está en C (Figura 7-2). Supongamos además que L₁ y L₂ representan dos direcciones coincidentes con sendos radios estelares, separadas por el ángulo elemental dq. Consideremos dos puntos A y B en la fotósfera de la estrella, ubicados a distancias r y r’ del centro de la misma, respectivamente. Tal como se aprecia en la Figura 7-2, al pasar desde A hacia B siguiendo la trayectoria elemental ds, el cambio dr en la coordenada radial puede escribirse de la siguiente manera :

 

 

                                             dr = ds cos q                                                         (7.7)

 

 

Además puesto que rdq = - ds cos(90° - q), resulta :

 

 

                                            ,                                                        (7.8)

 

 

en la cual el signo menos se debe a que el ángulo q  disminuye a medida que ds aumenta.

 

Si aceptamos que I_n no depende del ángulo f (simetría esférica), entonces I_n sólo dependerá de las otras dos coordenadas esféricas: r y q. Por lo tanto, el cambio que experimentará la intensidad específica monocromática I_n al pasar del punto A hacia el B siguiendo la trayectoria infinitesimal ds, será :

 

 

                     

     

 

 

 

 

 

		Figura 7-2: Modelo geométrico de una atmósfera estelar. Relación entre las coordenadas esféricas y lineales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La ecuación del transporte radiativo (7.6) puede ahora escribirse en coordenadas esféricas de la siguiente manera :

 

 

                                                              (7.9)

 

 

A medida que nos desplazamos según la trayectoria elemental ds, van variando las coordenadas r y q  y en consecuencia va cambiando I_n. Es importante destacar que no obstante estar considerando una dirección fija, el ángulo q cambia al pasar desde el punto A al punto B (ver Figura 7-2).

 

Si el radio de la estrella es mucho mayor que el espesor h de la atmósfera, la expresión (7.8) se hace despreciable frente a la (7.7). En efecto, dado que la coordenada radial r y la profundidad geométrica x de un punto de la atmósfera se miden según la misma dirección, pero x  aumenta por valores negativos, podemos escribir :

 

 

                                            r  = R + x = R(1 + x/R),

 

 

en la cual R es el radio de la estrella.

 

Escribiremos ahora la derivada dq/ds de la siguiente manera :

 

                                          

 

 

Puesto que el senq  no puede exceder la unidad, tenemos :

 

 

                                                                                            (7.10)

 

 

Si h << R, ½dq/ds½ tiende a cero. Es decir, si el espesor atmosférico es despreciable frente al radio estelar, el ángulo q  se mantiene constante a medida que nos desplazamos según la trayectoria elemental ds y por consiguiente la derivada dq /ds tiende a cero. La ecuación del transporte radiativo se reduce ahora a la siguiente expresión :

 

 

 

                                                                                    (7.11)

 

 

El caso considerado en que h << R permite transformar el problema esférico en plano. En otras palabras, si h << R puede concebirse a la fotosfera como constituida por capas plano-paralelas. Si esta aproximación no es válida, debe considerarse el caso esférico.

 

Utilizando como antes la variable x (profundidad geométrica) en lugar de la coordenada radial, la ecuación (7.11) resulta :

 

                                                                                     (7.12)

 

 

Dividiendo ambos miembros de (7.12) por -k_nr  obtenemos finalmente :

 

 

                                                                                             (7.13)

 

 

Esta ecuación es válida para una atmósfera plano-paralela. Si las capas son esféricas, un rayo cualquiera que parta de algún punto de la atmósfera seguirá una trayectoria tal que no formará el mismo ángulo q  con respecto a las normales a las diferentes capas. En este caso, el ángulo q  varía a medida que el rayo de intensidad I_n sigue su trayectoria. Tal como ilustra la Figura 7-3, en este caso los ángulos q₁, q₂, q₃, ... son todos diferentes, lo que implica dq / ds ¹ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por el contrario, en una atmósfera de capas plano-paralelas, el ángulo q  no varía a medida que el rayo de intensidad I_n  sigue su trayectoria (Figura 7-4). En este caso, q₁ =  q₂  = q₃ = ... y por ende dq /ds = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     La suposición de que las capas son plano-paralelas puede hacerse en virtud de la pequeña curvatura real de las atmósferas estelares. No es necesario que toda la estrella sea absolutamente plana; es suficiente aceptar que las capas atmosféricas puedan considerarseplano-paralelas en cada radio individual (Figura7-5).

 

		Figura 7-5: Esquema ilustrativo del significado real de la suposición de capas planas y paralelas.