Equação do CCD Propagação de Erros

Ruído de uma imagem

Precisamos primeiro distingüir precisão, devido às incertezas randômicas, que altera a sua repetibilidade, e acurácia, afetada por incertezas sistemáticas, que indica o quanto a medida se aproxima do valor real. As incertezas randômicas podem ser reduzidas com maior número de medidas, mas as incertezas sistemáticas, só com calibração. Nenhuma medida tem significado se não for acompanhada da estimativa de sua incerteza. Note que a estimativa das incertezas pode afetar o próprio valor. Por exemplo, se usarmos várias medidas de calibração, e encontrarmos que uma medida tem uma incerteza muito grande, excluindo-a alteramos diretamente o valor da medida e não somente a estimativa de sua incerteza.

No ótico, medimos em geral o número de fótons, pois cada fóton produz um elétron no detector, mas no raio-X, devido a alta energia dos fótons, até milhares de elétrons são produzidos por cada fóton. Entretanto o que medimos não é diretamente o fluxo do objeto, já que o fluxo observado depende da área do coletor, perdas e ganhos entre a fonte e o instrumento, incluindo a atmosfera da Terra, e a eficiência do coletor e detector. A contagem observada pode ser escrita como

$ N=At\int \frac{F_\lambda}{\frac{hc}{\lambda}}\Phi_\lambda a_\lambda d\lambda$
onde $ A$ é a área coletora, $ t$ o tempo de integração, Fλ, o fluxo, é a energia por unidade de área e unidade de tempo, hc/λ a energia de cada fóton, $ a_\lambda$ a transmissão atmosférica e $ \Phi_\lambda$ a eficiência do sistema.

Para uma taxa de fótons emitidos, existe uma distribuição de probabilidades que nos dá o número de fótons que detectamos, mesmo se a eficiência de detecção for de 100%.

Vamos definir como $p(x)$ a probabilidade de um evento ocorrer entre $x$ e $x+dx$:

$\int p(x)dx = 1$
a média $\mu$:
$ \mu = \int x p(x)dx$
a variança $ \sigma^2$:
$ \sigma^2 = \int (x-\mu)^2 p(x)dx$
o desvio padrão $ \sigma$, e o modo, que é o valor mais provável da distribuição,
$\frac{d p(x)}{dx}\vert_{modo}=0$
Precisamos também definir a média do conjunto de medidas, $\bar x$:
$\bar x = \frac{\sum x_i}{N}$
e a variança do conjunto:
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar x)^2}{N-1}$
Como nossas medidas são finitas, a média do conjunto de medidas $\bar{x}$ não é idêntica à média μ.

A distribuição de fótons p, para um grande número de fótons de média $\mu$ é dada pela distribuição de Poisson, descrita por Siméon-Denis Poisson (1781-1840), como uma extensão da distribuição binomial - válida quando só há duas soluções possíveis. A distribuição de Poisson, P, é válida quando a probabilidade de sucesso de cada evento é baixa e o número de tentativas muito grande,

$P(x,\mu)=\mu^x\frac{e^{-\mu}}{x!}$
Poisson
e a variança é dada por
$\sigma^2 = \sum [(x-\mu)^2 p(x,\mu)] = Np = \mu$
com $ N$ o número total de fótons emitidos e $ p$ a probabilidade de detectarmos um fóton durante a observação. A distribuição de Poisson tem esta interessante propriedade, a média é igual à variança: μ=σ2=N. Logo, se detectamos $ N$ fótons, o desvio padrão é $ \sigma=\sqrt{N}$.

A equação do CCD descreve as contribuições dos diversos tipos de ruído nas medidas. Suponhamos que tenhamos $ N_*$ fotoelétrons (contagens) detectados de um objeto. O ruído estatístico (Poissoniano) da medida será dado por $R=\sqrt{N_*}$. Mas em um CCD temos outras fontes de ruído:

$ R=\sqrt{N_*+n_{pix}(1+\frac{n_{pix}}{n_B})
(N_B + N_D + N_R^2 + G^2 \sigma_f^2)}$
onde
$ N_*$ número total de contagens coletadas do objeto (em elétrons)
$ n_{pix}$ número de píxeis considerados
$ n_B$ número de píxeis de fundo (céu)
$ N_B$ número total de contagens por pixel de fundo (céu, em elétrons)
$ N_D$ número total de contagens por pixel de corrente de escuro (térmicos, em elétrons)
$ N_R$ ruído de leitura por pixel (em elétrons)
$ G$ Ganho do detector (número de elétrons/ADU)
$ \sigma_f$ $ \sigma$ da contagem fracional perdida na discretização por pixel (em ADU)

As fontes de ruído são:

Se o objeto for brilhante, a razão sinal-ruído é totalmente dominada pela incerteza na contagem de fótons:
$S/R = N/\sqrt{N} = \sqrt{N} = \sqrt{n\cdot t} \propto \sqrt{t}$
onde n é o número de fótons por segundo do objeto.

Se o ruído de fundo for similar ao ruído do objeto, $ n\simeq n_B$, onde, aqui, nB é o número de fótons por segundo do céu, teremos

$S/R = N/\sqrt{N+N_B} = \sqrt{N/2} = \sqrt{\frac{n\cdot t}{2}} \propto \sqrt{t/2}$
Se desprezarmos as correções $ n_{pix}/n_B$ e de digitalização, podemos escrever a relação sinal-ruído em função do tempo $ t$ como:
$\frac{S}{R} = \frac{Nt}{\sqrt{Nt+n_{pix}(N_Bt+N_Dt+N_R^2)}}$
e resolver para $ t$:
$t = \frac{{(\frac{S}{R})^2[N+n_{pix}(N_B+N_D)]} +
\sqrt{(\frac{S}{R})^4[N+n_{pix}(N_B+N_D)]^2 +4 N^2 (\frac{S}{R})^2 n_{pix}N_R^2}} {2N^2}$

Qual das fórmulas usar precisa ser estabelecido, primeiro, comparando o número de fótons do objeto com o número de fótons do céu, na abertura necessária. Se o objeto for mais fraco que o céu, o problema é muito mais complexo e não se pode utilizar nenhuma destas duas aproximações.

Podemos determinar o ganho e o ruído de leitura usando dois pares de imagens: duas imagens de zero (bias) e duas imagens de flat. Como

$\sigma_{leitura}=\frac{N_R}{G}$
para converter o ruido de leitura de contagens (ADU) para elétrons, precisamos conhecer o ganho real do conversor analógico-digital. Nas imagens de flat, o ruído poissônico será muito maior do que o ruído de leitura, e o desvio padrão do flat será:
$\sigma_{flat} = \frac{\sqrt{\bar{F} \cdot G}}{G}$
onde $ \bar{F}$ é o valor médio por pixel do flat. Quanto maior o ganho, maior é o desvio pixel-a-pixel. Podemos obter o ganho como:
$G= \frac{(\bar{F_1}+\bar{F_2})-(\bar{B_1}+\bar{B_2})}
{\sigma^2_{(\bar{F_1}+\bar{F_2})}-\sigma^2_{(\bar{B_1}+\bar{B_2})}}$
e
$N_R=\frac{G\cdot \sigma_{(\bar{B_1}+\bar{B_2})}}{\sqrt{2}}$

Exemplo de cálculo (HST-WFPC)
Cálculo de exposições SOAR e Gemini.
Dados para imageadores do Soar
Melhor abertura tem raio de 0,725 FWHM
Mais detalhes.

Volta Polarimetria
Volta Volta: Astronomia e Astrofisica
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Modificada em 24 maio 2011