Equação do CCD Propagação de Erros

Ruído de uma imagem

Precisamos primeiro distinguir precisão, devido às incertezas randômicas, que altera a sua repetibilidade, e acurácia, afetada por incertezas sistemáticas, que indica o quanto a medida se aproxima do valor real. As incertezas randômicas podem ser reduzidas com maior número de medidas, mas as incertezas sistemáticas, só com calibração. Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), o pai da astrometria moderna, foi o primeiro astrônomo a considerar que antes de poder usar uma medida, ele precisava determinar todos os tipos de incertezas que pudessem afetar a medida. Nenhuma medida tem significado se não for acompanhada da estimativa de sua incerteza. Note que a estimativa das incertezas pode afetar o próprio valor. Por exemplo, se usarmos várias medidas de calibração, e encontrarmos que uma medida tem uma incerteza muito grande, excluindo-a alteramos diretamente o valor da medida e não somente a estimativa de sua incerteza.

No ótico, medimos em geral o número de fótons, pois cada fóton produz um elétron no detector, mas no raio-X, devido a alta energia dos fótons, até milhares de elétrons são produzidos por cada fóton. Entretanto o que medimos não é diretamente o fluxo do objeto, já que o fluxo observado depende da área do coletor, perdas e ganhos entre a fonte e o instrumento, incluindo a atmosfera da Terra, e a eficiência do coletor e detector. A contagem observada pode ser escrita como

$ N=At\int \frac{F_\lambda}{\frac{hc}{\lambda}}\Phi_\lambda a_\lambda d\lambda$
onde $ A$ é a área coletora, $ t$ o tempo de integração, Fλ, o fluxo, é a energia por unidade de área e unidade de tempo, hc/λ a energia de cada fóton, $ \Phi_\lambda$ a eficiência do sistema, e $ a_\lambda$ a transmissão atmosférica.

Para uma taxa de fótons emitidos, existe uma distribuição de probabilidades que nos dá o número de fótons que detectamos, mesmo se a eficiência de detecção for de 100%.

Vamos definir como $p(x)$ a probabilidade de um evento ocorrer entre $x$ e $x+dx$:

$\int p(x)dx = 1$
a média $\mu$:
$ \mu = \int x p(x)dx$
a variança $ \sigma^2$:
$ \sigma^2 = \int (x-\mu)^2 p(x)dx$
o desvio padrão $ \sigma$, e o modo, que é o valor mais provável da distribuição,
$\frac{d p(x)}{dx}\vert_{modo}=0$
Precisamos também definir a média do conjunto de medidas, $\bar x$:
$\bar x = \frac{\sum x_i}{N}$
e a variança do conjunto:
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar x)^2}{N-1}$
Como nossas medidas são finitas, a média do conjunto de medidas $\bar{x}$ não é idêntica à média μ.

A distribuição de fótons p, para um grande número de fótons de média $\mu$ é dada pela distribuição de Poisson, descrita por Siméon-Denis Poisson (1781-1840), como uma extensão da distribuição binomial - válida quando só há duas soluções possíveis. A distribuição de Poisson, P, é válida quando a probabilidade de sucesso de cada evento é baixa e o número de tentativas muito grande,

$P(x,\mu)=\mu^x\frac{e^{-\mu}}{x!}$
Poisson
e a variança é dada por
$\sigma^2 = \sum [(x-\mu)^2 p(x,\mu)] = Np = \mu$
com $ N$ o número total de fótons emitidos e $ p$ a probabilidade de detectarmos um fóton durante a observação. A distribuição de Poisson tem esta interessante propriedade, a média é igual à variança: μ=σ2=N. Logo, se detectamos $ N$ fótons, o desvio padrão é $ \sigma=\sqrt{N}$.

A equação do CCD descreve as contribuições dos diversos tipos de ruído nas medidas. Suponhamos que tenhamos $ N_*$ fotoelétrons (contagens) detectados de um objeto. O ruído estatístico (Poissoniano) da medida será dado por $R=\sqrt{N_*}$. Mas em um CCD temos outras fontes de ruído:

$ R=\sqrt{N_*+n_{pix}(1+\frac{n_{pix}}{n_B})
(N_B + N_D + N_R^2 + G^2 \sigma_f^2)}$
onde
$ N_*$ número total de contagens coletadas do objeto (em elétrons)
$ n_{pix}$ número de píxeis considerados
$ n_B$ número de píxeis de fundo (céu)
$ N_B$ número total de contagens por pixel de fundo (céu, em elétrons)
$ N_D$ número total de contagens por pixel de corrente de escuro (térmicos, em elétrons)
$ N_R$ ruído de leitura por pixel (em elétrons)
$ G$ Ganho do detector (número de elétrons/ADU)
$ \sigma_f$ $ \sigma$ da contagem fracional perdida na discretização por pixel (em ADU)

As fontes de ruído são:

Se o objeto for brilhante, a razão sinal-ruído é totalmente dominada pela incerteza na contagem de fótons:
$S/R = N/\sqrt{N} = \sqrt{N} = \sqrt{n\cdot t} \propto \sqrt{t}$
onde n é o número de fótons por segundo do objeto.

Se o ruído de fundo for similar ao ruído do objeto, $ n\simeq n_B$, onde, aqui, nB é o número de fótons por segundo do céu, teremos

$S/R = N/\sqrt{N+N_B} = \sqrt{N/2} = \sqrt{\frac{n\cdot t}{2}} \propto \sqrt{t/2}$
Se desprezarmos as correções $ n_{pix}/n_B$ e de digitalização, podemos escrever a relação sinal-ruído em função do tempo t como:
$\frac{S}{R} = \frac{Nt}{\sqrt{Nt+n_{pix}(N_Bt+N_Dt+N_R^2)}}$
e resolver para t:
$t = \frac{{(\frac{S}{R})^2[N+n_{pix}(N_B+N_D)]} +
\sqrt{(\frac{S}{R})^4[N+n_{pix}(N_B+N_D)]^2 +4 N^2 (\frac{S}{R})^2 n_{pix}N_R^2}} {2N^2}$

Qual das fórmulas usar precisa ser estabelecido, primeiro, comparando o número de fótons do objeto com o número de fótons do céu, na abertura necessária. Se o objeto for mais fraco que o céu, o problema é muito mais complexo e não se pode utilizar nenhuma destas duas aproximações.

Podemos determinar o ganho e o ruído de leitura usando dois pares de imagens: duas imagens de zero (bias) e duas imagens de flat. Como

$\sigma_{leitura}=\frac{N_R}{G}$
para converter o ruido de leitura de contagens (ADU) para elétrons, precisamos conhecer o ganho real do conversor analógico-digital. Nas imagens de flat, o ruído poissônico será muito maior do que o ruído de leitura, e o desvio padrão do flat será:
$\sigma_{flat} = \frac{\sqrt{\bar{F} \cdot G}}{G}$
onde $ \bar{F}$ é o valor médio por pixel do flat. Quanto maior o ganho, maior é o desvio pixel-a-pixel. Podemos obter o ganho como:
$G= \frac{(\bar{F_1}+\bar{F_2})-(\bar{B_1}+\bar{B_2})}
{\sigma^2_{(\bar{F_1}+\bar{F_2})}-\sigma^2_{(\bar{B_1}+\bar{B_2})}}$
e
$N_R=\frac{G\cdot \sigma_{(\bar{B_1}+\bar{B_2})}}{\sqrt{2}}$

Exemplo de cálculo (HST-WFPC)
Cálculo de exposições SOAR e Gemini.
Dados para imageadores do Soar
Melhor abertura tem raio de 0,725 FWHM


Volta CCD
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Volta Volta: Astronomia e Astrofisica
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Modificada em 24 maio 2011