Massa de Planck

A energia gravitacional é dada por:

EG $\displaystyle \simeq$ $\displaystyle {\frac{GM^2}{r}}$

desprezando-se o fator de integração, da ordem de 3/5 para distribuições esféricas. Assumindo que a massa seja constante, podemos escrever em primeira ordem:

$\displaystyle \Delta$E = $\displaystyle {\frac{GM^2}{\Delta r}}$

O princípio da incerteza pode ser escrito como

$\displaystyle \Delta$r×$\displaystyle \Delta$p $\displaystyle \geq$ h (1)

Note que usamos h e não $ \hbar$ porque estamos usando r e p em módulo, e não somente em uma direção. Mas

$\displaystyle \Delta$E = c$\displaystyle \Delta$p

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$\displaystyle \Delta$E $\displaystyle \geq$ $\displaystyle {\frac{hc}{\Delta r}}$  
  = $\displaystyle {\frac{GM^2}{\Delta r}}$  

e podemos escrever:

GM2 $\displaystyle \geq$ hc

Definimos a massa de Planck como:

$\displaystyle \boxed{M_{\mathrm{Planck}}\equiv \sqrt{\frac{hc}{G}}}$

Nosso valor difere do valor na literatura

MPlanck=$\displaystyle \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$

devido ao uso de h e não $ \hbar$ na equação 1
O comprimento de Planck dado por:
$L_{Planck}} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}= 1,66 \times 10^{-33}{cm}$

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Modificada em 12 Dez 2004