Avermelhamento Gravitacional

Utilizando a relação entre o tempo próprio τ=tempo no sistema de repouso na coordenada r e a coordenada temporal t,

$d\tau = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^\frac{1}{2} dt$

podemos calcular a diferença entre a frequência emitida em r₁

$\nu_1 = \frac{1}{d\tau_1}$

e a frequencia recebida em um ponto qualquer r₂

$\nu_2 = \frac{1}{d\tau_2}$

que é dada por

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{d\tau_1}{d\tau_2}$

Podemos aproximar esta relação para um ponto $r_2\gg r_1$ como

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \left(1-\frac{2GM}{c^2r_1}\right)^\frac{1}{2}$

e, se o campo gravitacional for fraco

$v^2_{escape} \equiv \frac{2GM}{r_1} \ll c^2$

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \left(1-\frac{GM}{c^2r_1}\right)$

de modo que

$\nu_2 \simeq \nu_1 - \nu_1\frac{GM}{c^2r_1}$

${\frac{d\nu}{\nu} = - \frac{d\lambda}{\lambda} \simeq -\frac{GM}{c^2r_1}$

É necessário identificar r₁ = R como o raio da estrela, isto é, a posição em que a radiação foi emitida. Este avermelhamento gravitacional causa um deslocamento Doppler no centro das linhas espectrais equivalente a

${\frac{{\delta \lambda}}{{\lambda}}}$ $\equiv$ - ${\frac{{v_{gr}}}{{c}}}$ = - ${\frac{{GM}}{{c^2R}}}$

Multiplicando-se e dividindo-se pela massa e pelo raio do Sol, obtemos:

v_gr = 0,635 ${\frac{{M}}{{M_\odot}}}$ ${\frac{{R_\odot}}{{R}}}$ km/s

Para Sírius B, com M = (1,053±0,028)M_⊙, obtém-se v_gr = (89±16) km/s.

O desvio da luz α por um corpo gravitacional de potencial φ pode ser calculado sabendo-se a distância de maior aproximação r como

α=4GM/r

onde M é a massa total do sistema.

Astronomia e Astrofísica

Próxima: Tolman-Oppenheimer-Volkoff Volta: Interiores Estelares Anterior: Schwarzschild