Envelope Radiativo

No envelope, podemos assumir L_r = L e M_r=M, isto é, a contribuição do envelope para a luminosidade e para a massa é desprezível. Se o envelope for radiativo, $\nabla=\nabla_\mathrm{rad}$ ou seja

$$\nabla \equiv \frac{d\ln T}{d\ln P} = \frac{3}{16\pi acG}\frac{PK}{T^4} \frac{L}{M}$$ (40)

Vamos assumir no momento que a pressão de radiação seja desprezível, e que a opacidade pode ser escrita de forma geral como K=K₀ ⍴ⁿ T^-s. Para um gás ideal

$$P = \frac{N_Ak}{\mu}\rho T$$ (41)

e, substituindo a densidade ⍴ em termos de P/T, podemos expressar o coeficiente de absorção

K=K_g Pⁿ T ^-n-s (42)

onde

$$K_g \equiv K_0\left(\frac{\mu}{N_Ak}\right)^n$$ (43)

Com esta substituição, a equação do gradiente radiativo (40) contém somente P e T como variáveis, já que estamos assumindo M e L constantes no envelope. Podemos reescreve-la como

$$P^ndP = \frac{16\pi acGM}{3K_gL}T^{n+s+3}dT$$ (44)

Se $T_0$ e $P_0$ representam a temperatura e a pressão em algum ponto exterior do envelope, como a fotosfera, de modo que $P(r)>P_0$ e $T(r)>T_0$, podemos integrar a equação (44) e obter

$$P^{n+1} = \frac{n+1}{n+s+4}\frac{16\pi acGM}{3K_gL}T^{n+s+4} [\frac{1-(T_0/T)^{n+s+4}}{1-(P_0/P)^{n+1}}]$$ (45)

Desta forma, assumindo P₀=P_f dado pela equacão (39)

$$P_f = \frac{2}{3}\frac{g_s}{K_f}$$ (39)

obtemos a pressão no envelope para uma temperatura T qualquer.
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