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Transformada Radon

A Transformada Radon de uma função $f(x,y)$, representada por $p_\phi(x')$, é definida como a integral sobre a linha que é paralela ao eixo $y'$, à uma distância $x'$ da origem. As coordenadas $(x',y')$ são as coordenadas obtidas por rotação das coordenadas $(x,y)$ por um ângulo $\phi$:

$$x' = x \mathrm{cos}\,\phi + y \mathrm{sen}\,\phi,$$

$$y' = -x \mathrm{sen}\,\phi + y \mathrm{cos}\,\phi,$$

e

$$x = x' \mathrm{cos}\,\phi - y' \mathrm{sen}\,\phi,$$

$$y = x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi.$$

Matematicamente, a Transformada Radon, denotada pelo operador ${\cal{R}}$, é dada por:

$$p_\phi(x') \equiv {\cal{R}}\left[f(x,y)\right]$$ (4.17)

$$= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y)\delta\left(x\cos \phi + y \mathrm{sen}\,\phi - x'\right) dx\,dy$$ (4.18)

$$= \int_{-\infty}^\infty f\left(x' \mathrm{cos}\,\phi - y' \mathrm{sen}\,\phi, x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi\right) dy'$$ (4.19)

Como a função $p_\phi(x')$ é a projeção uni-dimensional da função $f(x,y)$ em um ângulo $\phi$, a transformada Radon calcula a integral da imagem bi-dimensional sobre o eixo $y'$.

Naturalmente a Transformada Radon, ou projeção, é periódica em $\phi$, e é simétrica, com

$$p_\phi(x') = p_{\phi\pm \pi}(-x').$$

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