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Teorema da Projeção ou Teorema da Faixa Central

Vamos considerar a relação entre a transformada de Fourier bi-dimensional da função objeto $f(x,y)$ e a transformada de Fourier uni-dimensional da projeção $p_\phi(x')$. Esta relação nos dá o Teorema da Projeção ou Teorema da Faixa Central (Central Slice Theorem), que é a relação fundamental para a reconstrução por projeções. A transformada uni-dimensional da projeção $p_\phi(x')$ é dada por:

$$P_\phi(w) \equiv {\cal{F}}\left[p_\phi(x')\right]$$ (4.20)

$$= \int_{-\infty}^\infty p_\phi(x')e^{-iwx'}dx'$$ (4.21)

$$= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f\left(x' \mathrm{cos... ...}\,\phi, x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi\right) e^{-iwx'}dx'\,dy'$$ (4.22)

Transformando as coordenadas de $(x',y')$ para $(x,y)$, usando-se as relações acima, podemos reescrever:

$$P_\phi(w) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y)\exp\left[-iw(x\cos\phi + y\mathrm{sen}\,\phi\right]dx\,dy.$$

Sabendo-se que no domínio de Fourier as coordenadas $w_{x'} = w\cos\phi$ e $w_{y'} = w\mathrm{sen}\,\phi$, podemos reescrever:

$$P_\phi(w) = F(w\cos\phi,w\mathrm{sen}\,\phi)$$ (4.23)

$$= F\left(w_{x'},w_{y'}\right)\left\vert _\phi \quad ou \quad F\left(w_x,w_y\right)\right\vert _\phi$$ (4.24)

$$= F(w,\phi)$$ (4.25)

onde $F\left(w_x,w_y\right)$ é a transformada bi-dimensional de Fourier de $f(x,y)$, e $\left(w_{x'},w_{y'}\right)$, ou $\left(w_x,w_y\right)$, e $(w,\phi)$ representam as coordenadas cartesianas e polares respectivamente, no domínio de Fourier.

Demonstramos portanto que a transformada de Fourier da projeção $p_\phi(x')$, em um certo ângulo $\phi$, é igual ao dado radial passando na origem em uma direção dada pelo ângulo $\phi$ na transformada de Fourier dos dados. Com esta transformada de Fourier, podemos calcular a função $\hat{f}(x,y)$ usando-se a transformada inversa:

$$\hat{f}(x,y) = {\cal{F}}^{-1}\left[F\left(w_x,w_y\right)\right]$$ (4.26)

$$= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty F\left(w_x,w_y\right) \exp\left[i\left(xw_x+yw_y\right)\right] dw_x\,dw_y$$ (4.27)

$$= \hat{f}(r,\theta)$$ (4.28)

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