Tempo de vida das estrelas

O tempo de vida de uma estrela é a razão entre a energia que ela tem disponível e a taxa com que ela gasta essa energia, ou seja, sua luminosidade. Como a luminosidade da estrela é tanto maior quanto maior é a sua massa ($ L\propto M^3$), resulta que o tempo de vida é controlado pela massa da estrela: quanto mais massiva a estrela, mais rapidamente ela gasta sua energia, e menos tempo ela dura.

A parte mais longa da vida da estrela é quando ela está na seqüência principal, gerando energia através de fusões termonucleares. Em estrelas como o Sol, as reações mais importantes são as que produzem, como resultado líquido, a transformação de quatro núcleos de hidrogênio (quatro prótons) em um núcleo de hélio (partícula $\alpha$). Nessa transformação, existe uma diferença de massa entre a massa que entrou na reação (maior) e a massa que saiu (menor). Essa massa "desaparecida" é transformada em energia pela equação de Einstein: $E = mc^2$.

\begin{displaymath}4m_p (4,0324\, {\rm u} ) \longrightarrow 1m_{\alpha} (4,0039\, {\rm u})\end{displaymath}

onde u = unidade de massa atômica = $1,66 \times 10^{-27}$ kg.

A diferença de massa é:

\Delta m = (4,0324- 4,0039) u = 0,0285 u

Dividindo-se pela massa inicial:

\frac{ 0,0285 u}{4,0324 u } = 0,007 = 0,7\%

Portanto 0,7% (7 milésimos) da massa que entra na reação é transformada em energia. A massa que entra nessa reação é apenas a massa que se encontra no núcleo da estrela, pois apenas no núcleo a estrela atinge temperaturas suficientemente altas (8 milhões K) para permitir as reações termonucleares. A massa da estrela contida em seu núcleo é 10% da massa total da estrela. Isso significa que, de toda a massa da estrela, apenas 10% contribui para a geração de energia durante a maior parte de sua vida, a parte em que ela está na seqüência principal. Este é o limite de Schenberg-Chandrasekhar, publicado em 1942 pelo brasileiro Mário Schenberg (1914-1990)
schenberg Mário Schenberg
e pelo indiano Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995), no Astrophysical Journal, 96, 161, e corresponde ao ponto da evolução de uma estrela em que o balanço de pressão no núcleo isotérmico não pode ser mais alcançado.

Portanto, a energia disponível nessa etapa é:

E_{SP} = 0,007 \times 0,1 \times M \times c^2
onde $E_{SP}$ significa energia na seqüência principal.

No caso do Sol essa energia vale:

$ E_{SP}^\odot$ $ =$ $ 0,007 \times 0,1 \times M_\odot \times c^2$  
  $ =$ $ 0,007 \times 0,1 \times 1,99 \times 10^{30} kg
\times ({3 \times 10^8 m/s)^2}$  
  $ =$ $ 1,26 \times 10^{44} J$  

O tempo de vida do Sol na seqüência principal é igual à energia nuclear disponível dividida pela luminosidade do Sol na seqüência principal, já que a luminosidade é a quantidade de energia perdida por unidade de tempo:

t_{SP}^\odot = \frac{1,26 \times 10^{44} J} = 3,29 \times 10^{17} s = 10^{10} anos

Para uma estrela qualquer, o tempo de vida na seqüência principal pode ser calculado em termos do tempo de vida do Sol na mesma fase:

t_{SP} = \frac{E_{SP}/E_{SP}^\odot}{L / L_\odot} \times 10^{10} anos
\tau_{SP} = \frac{1}{(M/M_\odot)^2}10^{10}{anos}

Exercício:

Demonstre que o tempo de vida na seqüência principal para uma estrela cuja massa é 0,85 M$_\odot$ é igual à idade do Universo, de 13,7 bilhões de anos. Para calcular a luminosidade, use a relação massa-luminosidade $ L\propto M^3$.


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Modificada em 12 maio 2008