Tensores Covariantes e Contravariantes

Uma derivada contravariante é definida como

$A^i = \frac{\partial x_i}{\partial x_k} A^k$$

enquanto que uma derivada covariante é definida como

$A_i = \frac{\partial x_k}{\partial x_i} A_k$

Portanto um tensor contravariante é dado por

$T^{kl} \frac{\partial x_k}{\partial x_i} \frac{\partial x_l}{\partial x_j} T^{ij}$

enquanto que um tensor covariante é dado por

$T_{kl} \frac{\partial x_i}{\partial x_k} \frac{\partial x_j}{\partial x_l} T_{ij}$

Na convenção usual, associamos as componentes contravariantes de um tensor com um vetor coluna, e as componentes covariantes com um vetor linha, de modo que

A_iB_i = A₁B₁ + A₂B₂ + ... + A_nB_n

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Astronomia e Astrofísica