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Schwarzschild

Karl Schwarzschild (1873-1916) estudou em 1916 o espaço em volta da estrela, onde o tensor momentum-energia $T_{ij}$ é nulo. Neste caso, a equação de Einstein se reduz a:

$$e^{-\lambda}\left(\frac{d\nu/dr}{r}+\frac{1}{r^2}\right)-\frac{1}{r^2}=0,$$ (1.94)

$$e^{-\lambda}\left(\frac{d\lambda/dr}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=0,$$ (1.95)

e

$$\frac{d\lambda}{dt}=0$$ (1.96)

Das equações (1.94) e (1.95) obtemos:

$$\frac{d\lambda}{dr}+ \frac{d\nu}{dr} =0$$ (1.97)

Esta equação indica que podemos colocar $\lambda=-\nu$, e integrar, obtendo:

$$e^{-\lambda} = e^\nu = 1 + \frac{\mathrm{constante}}{r}$$ (1.98)

Para que no limite no caso de campo gravitacional fraco a equação de campo de Einstein se reduza à equação de Poisson, a ${constante}/r$ da equação (1.98) deve ser identificada com $2\Phi/c^2$, onde $\Phi=-GM/r$ é o potencial gravitacional da mecânica clássica. Note que M é a massa total do sistema, como no caso Newtoniano. Com este valor, a métrica se reduz a:

conhecida como a métrica de Schwarzschild, e que tem um horizonte de eventos no raio de Schwarzschild $R_S$

$R_S = \frac{2GM}{c^2}$

O raio de Schwarzschild não é uma singularidade, pois pode ser removido com uma transformação de coordenadas.

A distância propria nesta métrica pode ser estimada por:

$\Delta s \simeq \frac{\Delta r}{(1-\frac{2GM}{c^2r})^{1/2}}$

Para a massa do Sol, o raio de Schwarzschild é de 3 km, e a distância própria entre r=4 km e r=5 km é

$\frac{1~km}{(1-\frac{3}{4,5})^{1/2}}=1,7~km$

Deste modo, se construirmos uma barra rígida com comprimento de 1,7 km em uma estação espacial muito distante desta massa, veremos que esta barra caberá entre 4 e 5 km [Edward Lewis Robinson (1945-), Black Holes].

Pela equação (1.99), vemos que o intervalo de tempo da coordenada tempo $dt$ e o intervalo de tempo próprio estão relacionados pela equação

$d\tau = (1-\frac{2GM}{c^2r})^\frac{1}{2} dt$

O intervalo de tempo próprio $d\tau$ representa o intervalo de tempo medido em um sistema em repouso na coordenada r. Para um observador estacionário (dr=dθ=dφ=0) no infinito ($r\rightarrow \infty$), o tempo próprio coincide com t.

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