Energia de Fermi

Em nosso tratamento dos férmions, estamos escrevendo $E_F \equiv \mu$ isto é, estamos identificando o potencial químico com a energia de Fermi. Estamos também escrevendo a densidade de partículas como $n_e$, isto é, a densidade dos elétrons, pois os íons não estão degenerados, exceto em estrelas de nêutrons. O valor da energia de Fermi precisa ser encontrado através da integração da distribuição de momentum, mas como vimos, no caso geral esta integração não é analítica. Podemos estimar o valor da energia de Fermi em várias aproximações:

T=0

$\boxed {E_F(T=0) = \left(\frac{h^2}{8m}\right)\left(\frac{3n_e}{\pi}\right)^\frac{2}{3}}$

Gás Não Degenerado, Ionizado

${E_F = -kT\ln\left(\frac{T^{3/2}}{n_e}\right)-\frac{3}{2}kT\ln\left(\frac{2\pi mk}{h^2}\right) -kT\ln 2}$

Degenerescência Fraca

O número de ocupação

$P(p)=\frac{1}{e^{(E-E_F)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(E-E_F)/kT}\left[1+e^{-(E-E_F)/kT}\right]}$

$P(p)\simeq e^{-(E-E_F)/kT}\left[1-e^{-(E-E_F)/kT}\right]$

$n_e = \frac{2(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3}e^{E_F/kT}(1-\frac{e^{E_...(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3}e^{E_F/kT}[1-\frac{e^{E_F(T=0)/kT}}{2^{3/2}}]$

o que leva a

${E_F = -kT \ln (\frac{2\pi mk}{h^2})^{3/2} -kT\...T^{3/2}/n_e) -\frac{n_e}{2^{1/2}}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^{3/2}\frac{1}{2}kT}$

Altamente degenerado e Ultra-relativistico

Para $E_F \gg mc^2$:

${\frac{1}{E_F} = \frac{1}{E_F(T=0)}[1+\pi^2(\frac{kT}{E_F})^2]^\frac{1}{3}}$

Valores para as funções de Fermi-Dirac

$-\alpha=\frac{E_F}{kT}$	$\frac{2}{3}F_\frac{3}{2}(\alpha)$	$F_\frac{1}{2}(\alpha)$
-4	0,016179	0,016128	regime não degenerado
-2	0,117200	0,114588
-1	0,307232	0,290501
0	0,768536	0,678094
1	1,774455	1,396375
2	3,691502	2,502458
4	11,751801	5,770726
8	52,90173	15,38048
12	125,70797	27,95178
16	279,63888	42,87300
20	484,37885	59,81279	completamente degenerado

Em metais aqui na Terra, a energia de Fermi dos elétrons é da ordem de alguns eV, enquanto a energia térmica correspondente a 1000K é somente de 0,1 eV. Logo a energia dos elétrons nos metais normais está limitada à energia de Fermi. Nestas condições, a potencial químico e a energia de Fermi são essencialmente equivalentes. Na fórmula da distribuição de Fermi-Dirac, é o potencial químico que aparece.

Demonstrações

Interiores Estelares
Astronomia e Astrofísica