Energia de Fermi

Em nosso tratamento dos férmions, estamos escrevendo $ E_F \equiv \mu$ isto é, estamos identificando o potencial químico com a energia de Fermi. Estamos também escrevendo a densidade de partículas como $ n_e$, isto é, a densidade dos elétrons, pois os íons não estão degenerados, exceto em estrelas de nêutrons. O valor da energia de Fermi precisa ser encontrado através da integração da distribuição de momentum, mas como vimos, no caso geral esta integração não é analítica. Podemos estimar o valor da energia de Fermi em várias aproximações:

T=0

$\boxed {E_F(T=0) = \left(\frac{h^2}{8m}\right)\left(\frac{3n_e}{\pi}\right)^\frac{2}{3}}$

Gás Não Degenerado, Ionizado

${E_F = -kT\ln\left(\frac{T^{3/2}}{n_e}\right)-\frac{3}{2}kT\ln\left(\frac{2\pi mk}{h^2}\right)
-kT\ln 2}$

Degenerescência Fraca

O número de ocupação

$P(p)=\frac{1}{e^{(E-E_F)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(E-E_F)/kT}\left[1+e^{-(E-E_F)/kT}\right]}$

$P(p)\simeq e^{-(E-E_F)/kT}\left[1-e^{-(E-E_F)/kT}\right]$

$n_e = \frac{2(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3}e^{E_F/kT}(1-\frac{e^{E_...(2\pi mkT)^{3/2}}{h^3}e^{E_F/kT}[1-\frac{e^{E_F(T=0)/kT}}{2^{3/2}}]$

o que leva a

${E_F = -kT \ln (\frac{2\pi mk}{h^2})^{3/2} -kT\...T^{3/2}/n_e)
-\frac{n_e}{2^{1/2}}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^{3/2}\frac{1}{2}kT}$

Altamente degenerado e Ultra-relativistico

Para $ E_F \gg mc^2$:

${\frac{1}{E_F} = \frac{1}{E_F(T=0)}[1+\pi^2(\frac{kT}{E_F})^2]^\frac{1}{3}}$

Valores para as funções de Fermi-Dirac

$ -\alpha=\frac{E_F}{kT}$ $ \frac{2}{3}F_\frac{3}{2}(\alpha)$ $ F_\frac{1}{2}(\alpha)$  
-4 0,016179 0,016128 regime não degenerado
-2 0,117200 0,114588  
-1 0,307232 0,290501  
0 0,768536 0,678094  
1 1,774455 1,396375  
2 3,691502 2,502458  
4 11,751801 5,770726  
8 52,90173 15,38048  
12 125,70797 27,95178  
16 279,63888 42,87300  
20 484,37885 59,81279 completamente degenerado
Em metais aqui na Terra, a energia de Fermi dos elétrons é da ordem de alguns eV, enquanto a energia térmica correspondente a 1000K é somente de 0,1 eV. Logo a energia dos elétrons nos metais normais está limitada à energia de Fermi. Nestas condições, a potencial químico e a energia de Fermi são essencialmente equivalentes. Na fórmula da distribuição de Fermi-Dirac, é o potencial químico que aparece.
Demonstrações


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Modificada em 15 março 2006