next up previous contents index
Próxima: Gás de Fótons Volta: Pressão Mecânica Anterior: Pressão Mecânica

Gás Não Degenerado

Para um gás monoatômico perfeito e não degenerado, nem relativístico, a distribuição de momentum em equilíbrio térmico é dada pela Lei de Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)].
n(p)dp=\frac{N\,4\pi p^2dp}{(2\pi mkT)^{3/2}}\exp (-\frac{p^2}{2mkT})$ (1.8)

onde $ m$ é a massa da partícula, $ k$ é a constante de Boltzmann, e $ T$ a temperatura do gás.

Note que a normalização é escolhida de forma que

N=\int_0^\infty n(p)dp (1.9)

Integrando-se a equação (1.7), usando a Lei de Maxwell (1.8), a normalização (1.9), e v=p/m, obtém-se:
P=NkT (1.9a)
a equação de um gás ideal.

A densidade de energia E, de acordo com a equação (1.5), para um gás ideal é dada por:

E_{gas}=\frac{3}{2}NkT (1.9b)
Para o gás de Boltzmann, o potencial químico, incluindo a energia de repouso, é dado por:
\mu = mc^2 + kT \ln [\frac{N}{g}(\frac{h^2}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}]

onde g=2J+1 é o fator estatístico para partículas de spin J.

Para um gás ultra-relativístico, $ pc \gg mc^2$, a energia da partícula é dada por $ E \simeq pc$, e usando a equação (1.9) para obter a constante normalização $C$:

$N = C \int_0^\infty e^{-\frac{pc}{kT}} p^2dp$ (1.9c)

Como
$\int_0^\infty p^2e^{-ap}dp = -\frac{2}{a^3}$ (1.9d)

obtemos
$N = -C\frac{2(kT)^3}{c^3} \longrightarrow C = -\frac{Nc^3}{2(kT)^3}$ (1.9e)

e, portanto, a energia do gás é dada por
$E_{gas}^{NR} = C \int_0^\infty pc e^{-\frac{pc}{kT}}p^2dp$ (1.9f)

Como
$\int_0^\infty p^3e^{-ap}dp = -\frac{6}{a^4}$ (1.9g)

a equação (1.9f) se reduz a

${E_{gas}^{ER} = 3NkT}$ (1.9h)


next up previous contents index
Próxima: Gás de Fótons Volta: Pressão Mecânica Anterior: Pressão Mecânica
© Modificada em 3 jan 2002