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Gás Não Degenerado

Para um gás monoatômico perfeito e não degenerado, nem relativístico, a distribuição de momentum em equilíbrio térmico é dada pela Lei de Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)].

onde $m$ é a massa da partícula, $k$ é a constante de Boltzmann, e $T$ a temperatura do gás.

Note que a normalização é escolhida de forma que

Integrando-se a equação (1.7), usando a Lei de Maxwell (1.8), a normalização (1.9), e , obtém-se:

a equação de um gás ideal.

A densidade de energia , de acordo com a equação (1.5), para um gás ideal é dada por:

Para o gás de Boltzmann, o potencial químico, incluindo a energia de repouso, é dado por:

onde g=2J+1 é o fator estatístico para partículas de spin J.

Para um gás ultra-relativístico, $pc \gg mc^2$, a energia da partícula é dada por $E \simeq pc$, e usando a equação (1.9) para obter a constante normalização $C$:

$$N = C \int_0^\infty e^{-\frac{pc}{kT}} p^2dp$$ (1.9c)

Como

$$\int_0^\infty p^2e^{-ap}dp = -\frac{2}{a^3}$$ (1.9d)

obtemos

$$N = -C\frac{2(kT)^3}{c^3} \longrightarrow C = -\frac{Nc^3}{2(kT)^3}$$ (1.9e)

e, portanto, a energia do gás é dada por

$$E_{gas}^{NR} = C \int_0^\infty pc e^{-\frac{pc}{kT}}p^2dp$$ (1.9f)

Como

$$\int_0^\infty p^3e^{-ap}dp = -\frac{6}{a^4}$$ (1.9g)

a equação (1.9f) se reduz a

$${E_{gas}^{ER} = 3NkT}$$ (1.9h)

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