Satélites Artificiais

Desde o primeiro satélite artificial, o Sputnick, lançado pela União Soviética em 1957, com 83 kg e que alcançava altitude entre 225 e 950 km. Cerca de 7560 satélites artificiais estão orbitando a Terra. Muitos satélites e foguetes lançados explodiram, dando origem a mais de 40,5 mil detritos espaciais maiores que 10 cm, 1,1 milhão de fragmentos entre 1 cm e 10 cm, e 130 milhões menores que 1 cm, que não podem ser detectados por radares aqui na Terra. Estes fragmentos constituem o lixo espacial. Cerca de 36,8 mil fragmentos maiores são monitorados aqui da Terra, porque podem causar sérios danos às naves e satélites, tripulados ou não.

3) Qual é a altura de um satélite geoestacionário?
Se o satélite é geoestacionário, isto é, permanece posicionado sobre um mesmo local da Terra, então seu período orbital tem que ser igual a um dia sideral = 23^h 56^m = 86 160 segundos. Usando a Terceira Lei de Kepler,

$P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_T+m_s)}\,a^3$

com M_T = 5, 98 x 10²⁴ kg, m_s $\ll$ M_T, G = 6, 67 x 10^-11 N ^. m²/kg², temos:

a = = 42172 km.

Como o raio da Terra é R_T = 6370 km, então a altura será (a - R_T) = (42 172 km - 6370 km) = 35 800 km.

4) Qual é a velocidade de um satélite em órbita circular a 300 km de altura sobre a Terra?

v = $\sqrt{\mu \left({2 \over r} - {1 \over a}\right)}$,

mas para uma órbita circular r=a, de modo que:

v_circ = $\sqrt{{\mu \over r}}$.

Como r=(300 km + R_T) = 6670 km:

v_circ = $\sqrt{{GM_T}\over r}$ = 7, 5 km/s.

Qual é o período orbital?

$P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_T+m_s)}\,a^3$ ∴ P=90 minutos.

5) Considerando que a órbita de menor energia para lançamento de uma nave a Marte, conhecida como transferência de Hohmann pois foi proposta pelo engenheiro alemão Walter Hohmann (1880-1945) em 1925, é aquela que tem uma distância no perihélio de 1UA (a da órbita da Terra) e uma distância de afélio de 1,52 UA (a da órbita de Marte), qual é o tempo de viagem?

O semieixo maior a da órbita do nave é

a = ${r_P + r_A \over 2}$ = 1, 26 UA,

e portanto seu período é:

$P^2 = \frac{4\pi^2}{G(M_\odot+m_n)}\,a^3 \rightarrow P= 1,41\, {\rm anos}$

O tempo de viagem será metade do período orbital, portanto de 8,5 meses. Qual a velocidade de lançamento?

v = $\sqrt{\mu \left({2 \over r} - {1 \over a}\right)}$,

e r=1 UA. Logo v= 33 km/s. Considerando-se que a Terra orbita o Sol com velocidade de:

v = $\left(\vphantom{{2\pi\cdot 1UA \over 1\,{\rm ano}}}\right.$${2\pi\cdot 1UA \over 1\,{\rm ano}}$ $\left.\vphantom{{2\pi\cdot 1UA \over 1\,{\rm ano}}}\right)$ = 30 km/s,

só precisamos lançar a nave com 3 km/s, na mesma direção da órbita da Terra, depois de escapar da gravidade da Terra (v^⊗_escape). Note que o lançamento da nave tem que ser bem programado para que Marte esteja na posição da órbita que a nave chegará.
A manobra de Hohmann também é utilizada para lançar um satélite em órbita geocêntrica a partir de uma órbita de baixa altitude, primeiro colocando o satélite em uma órbita elipsoidal com distância geocêntrica igual a da órbita desejada e depois circularizando a órbita.
6) Qual é o semi-eixo maior da órbita de um satélite lançado a 300 km de altura com uma velocidade de 10 km/s?

v = $\sqrt{\mu \left({2 \over r} - {1 \over a}\right)}$,

Resolvendo para a, obtemos a = 3, 17 R_T.

7) Se quisermos enviar um satélite até a Lua ou qualquer outro planeta, precisamos primeiro vencer o campo gravitacional da Terra. Qual é a velocidade necessária para um satélite artificial escapar do campo gravitacional da Terra?

Como a massa do satélite pode ser desprezada em relação à massa da Terra:

Um satélite artificial está sujeito à fricção com a atmosfera da Terra, causando o decaimento da órbita. Se o satélite se encontrar abaixo de 160 km da superfície da Terra, este decaimento dura somente alguns dias, e a desintegração ocorre a uma altitude de cerca de 80 km. Acima de 600 km, a fricção é tão pequena que a órbita geralmente dura mais do que 10 anos, ou seja, acima do tempo de vida operacional do satélite.

Manobras Gravitacionais

Os foguetes podem lançar as naves na direção de um corpo celeste, como a Lua, e daí para frente, a gravidade da Lua, passa a atrair a nave e a aumentar a sua velocidade. Se o trajeto for bem calculado, pode-se até mudar o rumo da nave no caminho, fazendo-a passar de raspão pela Lua e depois prosseguir na direção que queira. É possível até fazê-la tomar o destino de outro corpo celeste, como Marte, ou Júpiter, que então tornam a acelerar a nave na continuação da viagem, seja qual for.

O método mais antigo usado para utilizar a gravidade como acelerador é a chamada transferência de Hohmann, proposta pelo engenheiro alemão Walter Hohmann (1880-1945): primeiro, impulsiona-se a nave com o foguete até uma órbita circular baixa em volta da Terra. Em seguida, aplica-se um impulso, com os motores da própria nave, que modifica a órbita: ela deixa de ser circular e se torna uma elipse alongada. Quando a nave se encontra no ponto mais alongado da elipse, aplica-se um novo impulso para colocá-la em uma nova órbita circular, só que bem mais alta que a primeira. É uma manobra cara porque os impulsos necessários são grandes e exigem grandes quantidades de combustível. A transferência de Hohmann serviu desde o início da era espacial para colocar satélites em orbita da Terra e até para enviar naves à Lua. Os progressos da Astrodinâmica têm mostrado como se deve proceder para aproveitar ao máximo a energia gravitacional durante os vôos espaciais. Hoje se analisa a atração gravitacional de vários corpos para descobrir quais são as trajetórias naturais existentes entre eles - ou seja, as rotas criadas pela gravidade e que as naves podem utilizar com vantagem. Se uma nave for lançada em uma trajetória adequada, ela pode seguir uma trajetória natural na qual não será necessário gastar nenhuma energia. A Mecânica Celeste mostra que existem pontos especiais, chamados pontos de Lagrange, nos quais a soma de várias atrações gravitacionais cria inúmeras possibilidades interessantes. Aí se cruzam infinitas trajetórias, bem diferentes uma da outra. E quando se dirige uma sonda para uma dessas regiões, basta um pequeno gasto de energia para alterar o seu movimento. É como se, no espaço houvessem superhighways interplanetarias, conectando os diversos pontos de Lagrange dos planetas do Sistema Solar. O problema é que essas trajetórias naturais são cheias de curvas e atalhos, que tornam as viagens demoradas. Ou seja, o que se ganha em energia, paga-se com tempo.

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