Conservação do momentum angular

Voltando para nossa equação do movimento

${\ddot{\vec r} + \frac{\mu}{r^3} \vec r = 0$ (1)

e multiplicando-se vetorialmente a equação de movimento (1) por $\vec{r}\,$ pela esquerda, temos:

$\vec{r}\,$ x $\ddot{\vec r}$ + ${\mu \over r^3}$ $\vec{r}\,$ x $\vec{r}\,$ = 0.

Como o produto vetorial de qualquer vetor por si mesmo é nulo, já que o ângulo entre eles é zero e sen(0)=0, $\vec{r}\,$ x $\vec{r}\,$ $\equiv$ 0, o segundo termo acima é nulo e ficamos somente com o primeiro:

$\vec{r}\,$ x $\ddot{\vec r}$ = 0.

Como

${d \over dt}$ ( $\vec{r}\,$ x $\dot{\vec r}$ ) = $\dot{\vec r}$ x $\dot{\vec r}$ + $\vec{r}\,$ x $\ddot{\vec r}$ .

e $\dot{\vec r}$ x $\dot{\vec r}$ $\equiv$ 0, a equação acima implica

${d \over dt}$ ( $\vec{r}\,$ x $\dot{\vec r}$ ) = 0,

ou o termo entre parêntesis deve ser uma constante, que vamos chamar de momentum angular, $\vec{h}\,$ :

( $\vec{r}\,$ x $\dot{\vec r}$ ) = $\vec{h}\,$ = constante (3)

Esta é a lei da conservação do momentum angular. $\vec{h}\,$ é o momentum angular por unidade de massa.

Note que o vetor momento angular $\vec{h}\,$ é sempre perpendicular ao movimento, por sua definição (3).

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