Primeira lei de Kepler: Lei das órbitas

Voltamos novamkente para nossa equação do movimento
{\ddot{\vec r} + \frac{\mu}{r^3} \vec r = 0                                           (1)

Multiplicando-se vetorialmente a equação (1) por \vec{h}:

\ddot{\vec r} x \vec{h} = {\mu \over r^3} (\vec{h} x \vec{r})                                           (4)
já levando-se em conta que: $\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b}\times \vec{a}$. A parte da direita de (4) pode ser escrita como:
{\mu \over r^3} (\vec{h} x \vec{r}) = {\mu \over r^3} (\vec{r} x \vec{v}) x \vec{r}.
Como
(\vec{a} x \vec{b}) x \vec{c} = (\vec{a} . \vec{c}) \vec{b} - \vec{a} (\vec{b} . \vec{c}),
então:
{\mu \over r^3} (\vec{r} x \vec{v}) x \vec{r} = {\mu \over r^3} \vec{v} r2 - {\mu \over r^3} (\vec{r} . \dot{\vec r}) \vec{r} = {\mu \over r} \vec{v} - {\mu \over r^3} (\vec{r} . \dot{\vec r}\vec{r}.

\mu {d \over dt} ({\vec r \over r}} {\vec r \over r} {\vec r \over r})$ = {\mu \over r} \vec{v} - {\mu \over r^3} ({\vec r \cdot \dot{\vec r}} \vec{r} . \dot{\vec r} {\vec r \cdot \dot{\vec r})  \vec{r},
então:
{\mu \over r^3} ({\vec h \times \vec r} \vec{h} x \vec{r} {\vec h \times \vec r}) = \mu {d \over dt} ({\vec r \over r} {\vec r \over r} {\vec r \over r}).
O lado esquerdo da equação (4), $ \ddot{\vec r}\times \vec h$, pode ser escrito como:
\ddot{\vec r} x \vec{h} = {d \over dt} ( \dot{\vec r} x \vec{h} ),
já que:
d \over dt (\vphantom{\vec r \times \vec h}\right.$ \dot\vec{r} x \vec{h} ) = \ddot{\vec r} x \vec{h} + \dot{\vec r} x \dot{\vec h},
e como $ \vec{h}\,$ é constante, $ \dot{\vec h}$ = 0. A equação (4) pode portanto ser escrita como:
{d \over dt} (\dot{\vec r}\times \vec h} \dot{\vec r} x \vec{h} \dot{\vec r}\times \vec h) = \mu {d \over dt} ({\vec r \over r} {\vec r \over r} {\vec r \over r}),
ou seja, integrando-se sobre t:
\dot{\vec r} x \vec{h} = {\mu \over r} \vec{r} + \vec{\beta}                             (4a)
onde $ \vec{\beta}\,$ é um vetor constante. Como $ \vec{h}\,$ é perpendicular ao plano da órbita, $ \dot{\vec r}$ x $ \vec{h}\,$ está no plano da órbita, junto com $ \vec{r}\,$, de modo que $ \vec{\beta}\,$ também. Na verdade, $ \vec{\beta}\,$ está na direção do pericentro, como veremos a seguir.

Até agora encontramos 2 vetores constantes, $ \vec{h}\,$ e $ \vec{\beta}\,$, e um escalar constante, $ \epsilon$, de modo que já temos 7 integrais. Entretanto, elas não são todas independentes. Por exemplo, como $ \vec{\beta}\,$ está no plano da órbita, e $ \vec{h}\,$ em um plano perpendicular a este, $ \vec{\beta}\,$ . $ \vec{h}\,$ = 0.

Multiplicando-se (4a) escalarmente por $ \vec{r}\,$, temos:

\vec{r} . \dot{\vec r} x \vec{h} = {\mu \over r} \vec{r} . \vec{r} + \vec{\beta} . \vec{r}.
Como
\vec{a} x \vec{b} . \vec{c} = \vec{a} . vec{b} x \vec{c},
\vec{r} x \dot{\vec r} . h = {\mu \over r}r2 + \beta rcos \gamma,
onde $ \gamma$ é o ângulo entre $ \vec{r}\,$ e $ \vec{\beta}\,$, e $ \vec{r}\,$ x $ \dot{\vec r}$ = $ \vec{h}\,$, temos:
h2 = \mu r + \beta r cos \gamma,
ou
h2 = r \mu ({1+\frac{\beta}{\mu} \cos \gamma}1 + {\frac{\beta}{\mu}}cos \gamma {1+\frac{\beta}{\mu} \cos \gamma}),
e finalmente:
r=\frac{\frac{h^2}{\mu}}{1+\frac{\beta}{\mu}\cos\gamma}
que é a equação da trajetória, que queríamos determinar.

Esta é a equação de uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole) com foco na origem, em coordenadas polares. As cônicas foram estudadas pelo matemático grego Apolônio de Perga (c. 262 a.C.- c. 190 a.C.) em 200 a.C.

conica Secao Conica
r=\frac{p}{1+e\cos\theta}

onde