Seja um ponto P(r,) ou P(x,y) sobre a elipse, onde é chamado de anomalia verdadeira.
Pela lei dos cossenos:
Por definição de elipse,
ou seja:
e finalmente:
Em coordenadas cartesianas:
Subtraindo-se (a) - (b), temos:
Levando-se em conta que
o semi-eixo menor é dado por , o que pode
ser facilmente derivado pelo teorema de Pitágoras colocando-se
o ponto P(r,) em , e
substituindo-se em (c) em (a), temos
a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas:
ou
A área da elipse é dada por:
Substituindo-se , e
e como , logo ,
resulta:
Como
Introdução à Astronomia e à
Astrofísica
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