Duas relações das elipses são (veja o apêndice):
onde A é a área, a o semi-eixo maior e b o semieixo menor,
e
Da lei das áreas, (5), temos:
Integrando-se sobre um período, P,
Substituindo-se b acima, e a definição do semi-lactus rectum,
Elevando-se (6) ao quadrado:
ou
Esta é a terceira lei de Kepler, generalizada por Newton,
Desta forma fica demonstrado que as tres leis de Kepler podem
ser deduzidas das leis de Newton.
A ``constante'' de Kepler depende portanto da soma das massas dos corpos. No caso dos planetas do sistema solar, que orbitam o Sol, esta soma é praticamente igual à massa do Sol, e portanto aproximadamente constante.
Podemos calcular o valor das constantes, calculando-se
o valor do momentum angular e da energia no periélio,
já que são constantes. No periélio:
já que 
e 
são perpendiculares entre si.
Para a energia (2), temos:
Por outro lado, da definição do semi-lactus rectum, temos
. Substituindo-se h e 
em E, temos:
pois 
,
que é válido
para qualquer órbita cônica e
mostra que o semi-eixo maior da órbita só depende da
energia do sistema.
Da definição de semi-lactus rectum p,
Como a energia é definida por (8),
Escrevendo a excentricidade em termos da energia:
Logo, se:
Das equações (2) e (8), vemos que
logo
que é a equação da velocidade do sistema.
Da equação de velocidade se pode deduzir facilmente a
velocidade de escape do sistema, que representa a
velocidade mínima para que o corpo escape da atração
gravitacional do sistema. Esta velocidade é por definição
aquela com a qual o corpo chega com velocidade zero no infinito
(v=0 em 
), o que representa um órbita
parabólica, já que E=0. Neste caso,
já que da definição de velocidade e de órbita circular (
):
Para um órbita circular, vemos que a energia total é negativa, já
que:
Para um órbita hiperbólica, a energia total é positiva; a energia cinética é tão grande que a partícula pode escapar do sistema e se afastar dele. A parábola é o caso limite entre a órbita fechada (elipse) e a hipérbole. Halley, usando o método de Newton, encontrou que vários cometas têm órbita parabólica.
Assumimos até aqui que a órbita é um problema de dois corpos. Na realidade, os planetas interferem entre si, perturbando a órbita dos outros. Ainda assim suas órbitas não se desviam muito das cônicas, só que os elementos da órbita variam com o tempo e precisam ser calculados por aproximações sucessivas, pois a órbita não pode ser resolvida analiticamente. Além disto, mesmo só para dois corpos macroscópicos, com a Terra e a Lua, a solução de dois corpos não é exata, pois nem a Terra nem a Lua são esferas perfeitas, e portanto não se comportam como massas pontuais. Mais ainda, devido às marés, a Terra e a Lua não são sequer rìgidas.
1) O Cometa Austin (1982g) se move em uma órbita parabólica. Qual foi sua velocidade em 8 de outubro de 1982, quando estava a 1,1 UA do Sol?
Como a órbita é parabólica, E=0, logo:
2) o semi-eixo do planetóide 1982RA é de 1,568UA e sua distância
ao Sol em 8 de outubro de 1982 era de 1,17 UA. Qual era sua velocidade?
Introdução à Astronomia e à
Astrofísica
