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Separabilidade

Uma propriedade da transformada de Fourier, que é utilizada para calcular uma transformada bi-dimensional como uma sucessão de duas transformadas uni-dimensionais, é a separabilidade:

$${\cal{F}}[f(x,y)] \equiv F(w_x,w_y) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0... ...\sqrt{M}} \sum_{y=0}^{M-1} f(x,y) e^{-2i\pi w_yy/M}\right]\,e^{-2i\pi w_xx/N},$$

ou seja,

$$F(w_x,w_y)={\cal{F}}[F(x,w_y)],$$

onde $F(x,w_x)$ representa a transformada uni-dimensional de $f(x,y)$ sobre a coordenada $y$, mantendo-se $x$ fixo.

Da mesma maneira, a transformada inversa também pode ser separada:

$${\cal{F}}^{-1}[F(w_x,w_y)] \equiv f(x,y) =\frac{1}{\sqrt{N}} \sum... ...{M}}\sum_{w_y=0}^{M-1} F(w_x,w_y) e^{-2i\pi w_yy/M}\right]\,e^{-2i\pi w_xx/N}.$$

Se a função $f(x,y)$ é separável, isto é, pode ser escrita como

$$f(x,y)=f_x(x)f_y(y),$$

então a transformada também pode ser separada:

$$F\left(w_x,w_y\right)=F\left(w_x\right)F\left(w_y\right),$$

onde $F\left(w_x\right)$ e $F\left(w_y\right)$ são as transformadas uni-dimensionais de $f_x(x)$ e $f_y(y)$, respectivamente.

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