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Separabilidade

Uma propriedade da transformada de Fourier, que é utilizada para calcular uma transformada bi-dimensional como uma sucessão de duas transformadas uni-dimensionais, é a separabilidade:

$\displaystyle {\cal{F}}[f(x,y)] \equiv F(w_x,w_y) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0...
...\sqrt{M}} \sum_{y=0}^{M-1}
f(x,y) e^{-2i\pi w_yy/M}\right]\,e^{-2i\pi w_xx/N}, $

ou seja,

$\displaystyle F(w_x,w_y)={\cal{F}}[F(x,w_y)],$

onde $ F(x,w_x)$ representa a transformada uni-dimensional de $ f(x,y)$ sobre a coordenada $ y$, mantendo-se $ x$ fixo.

Da mesma maneira, a transformada inversa também pode ser separada:

$\displaystyle {\cal{F}}^{-1}[F(w_x,w_y)] \equiv f(x,y) =\frac{1}{\sqrt{N}} \sum...
...{M}}\sum_{w_y=0}^{M-1}
F(w_x,w_y) e^{-2i\pi w_yy/M}\right]\,e^{-2i\pi w_xx/N}. $

Se a função $ f(x,y)$ é separável, isto é, pode ser escrita como

$\displaystyle f(x,y)=f_x(x)f_y(y),$

então a transformada também pode ser separada:

$\displaystyle F\left(w_x,w_y\right)=F\left(w_x\right)F\left(w_y\right),$

onde $ F\left(w_x\right)$ e $ F\left(w_y\right)$ são as transformadas uni-dimensionais de $ f_x(x)$ e $ f_y(y)$, respectivamente.


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Modificada em 21 set 1998