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Transformada Bi-dimensionais

Para funções bi-dimensionais f(x,y):

$$\boxed{{\cal{F}}[f(x,y)] \equiv F(w_x,w_y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y) e^{-2i\pi (w_xx+w_yy)} dx\,dy,}$$ (4.6)

e a transformada inversa:

$$\boxed{{\cal{F}}^{-1}[F(w_x,w_y)] \equiv f(x) =\frac{1}{4\pi^2} \... ...fty}^\infty \int_{-\infty}^\infty F(w_x,w_y) e^{2i\pi (w_xx+w_yy)} dw_x\,dw_y,}$$ (4.7)

onde $w_x$ e $w_y$ são as freqüências.

O espectro de potências $P(w_x,w_y)$ é definido como:

$$P(w_x,w_x) = \Re[F(w_x,w_x)]^2 + \Im[F(w_x,w_x)]^2,$$

e o ângulo de fase é dado por:

$$\phi(w_x,w_x)=\tan^{-1} \frac {\Im[F(w_x,w_x)]}{\Re[F(w_x,w_x)]}.$$

A transformada discreta (DFT) de um sinal é definida como:

$$\boxed{{\cal{F}}[f(x)] \equiv F(w_x) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N-1} f(x) e^{-2i\pi w_xx/N},\quad \mathrm{para\, w_x=0,1,\cdots,N-1}.}$$ (4.8)

e a transformada inversa:

$$\boxed{{\cal{F}}^{-1}[F(w_x)] \equiv f(x) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{w_x=0}^{N-1} F(w_x) e^{2i\pi w_xx/N},\quad \mathrm{para\, x=0,1,\cdots,N-1}.}$$ (4.9)

Os valores da função $F(w_x)$ correspondem aos pontos $0,\Delta w_x, 2\Delta w_x,\cdots,(N-1)\Delta w_x$. Assim sendo, $F(w_x)=F(w_x \Delta w_x)$. Para a função $f(x)$, a origem da amostra é o ponto $x_0$, mas para a transformada $F(w_x)$, a origem está sempre em zero, e

$$\Delta w_x = \frac{1}{N\Delta x}.$$

Esta relação indica que o incremento em freqüência depende de forma inversa ao número de amostras da função $f(x)$, e do passo usado nesta amostragem. Assim sendo, quando quisermos conhecer a contribuição de uma determinada faixa de freqüências na formação de um sinal, precisamos assegurar-mo-nos que a amostragem do sinal permita que as freqüências de interesse estejam representadas (Teorema de amostragem de Nyquist-Shannon).

Para imagens bi-dimensionais, $f(x,y)$, a transformada é simplesmente:

$${\cal{F}}[f(x,y)] \equiv F(w_x,w_y) = \frac{1}{\sqrt{NM}}\sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{M-1} f(x,y) e^{-2i\pi (w_xx/N + w_yy/M)},$$ (4.10)

$$\mbox{para $w_x=0,1,\cdots,N-1$e $w_y=0,1,\cdots,M-1$} .$$ (4.11)

e a transformada inversa:

$${\cal{F}}^{-1}[F(w_x,w_y)] \equiv f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{NM}}\sum_{w_x=0}^{N-1} \sum_{w_y=0}^{M-1} F(w_x,w_y) e^{2i\pi (w_xx/N + w_yy/M)},$$ (4.12)

$$\mbox{para $x=0,1,\cdots,N-1$e $y=0,1,\cdots,M-1$} .$$ (4.13)

Nas figuras a seguir mostramos uma imagem, um círculo e um retângulo, ao lado de suas transformadas de Fourier.

A relação entre os passos da amostra no domínio de freqüência e de espaço são dados por:

$$\Delta w_x = \frac{1}{N\Delta x} \quad e \quad \Delta w_y = \frac{1}{M\Delta y}.$$

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