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Periodicidade e Simetria

Das equações que definem a transformada, se pode ver que a transformada de uma função qualquer é uma função periódica com período N em $ u$ e M em $ v$:

$\displaystyle F(w_x,w_y) = F(w_x+N,w_y) = F(w_x,w_y+M) = F(w_x+N, w_y+M).$

Desta propriedade se pode ver que podemos caracterizar uma função no domínio de frequências completamente, especificando-se os valores dentro destes períodos, N e M. Se os sinais f(x,y) forem reais, a transformada é também simétrica:

$\displaystyle \vert F(w_x,w_y)\vert = \vert F(-w_x,w_y)\vert = \vert F(w_x,-w_y)\vert = \vert F(-w_x,-w_y)\vert.$

\epsfig{file=FT.epsf,width=10cm,clip=}

Se $ f(x,y)$ é simétrica, isto é,

$\displaystyle f(x,y)=f(-x,-y),$

então a transformada de Fourier também será simétrica:

$\displaystyle F(w_x,w_y)=F(-w_x,-w_y).$

Se a função $ f(x,y)$ for real, como no caso das imagens, a transformada de Fourier será uma função imaginária, com a parte real simétrica, e a parte imaginária anti-simétrica. Esta propriedade é chamada de propriedade Hermitiana.


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Modificada em 21 set 1998