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Transformada Radon

A Transformada Radon de uma função $ f(x,y)$, representada por $ p_\phi(x')$, é definida como a integral sobre a linha que é paralela ao eixo $ y'$, à uma distância $ x'$ da origem. As coordenadas $ (x',y')$ são as coordenadas obtidas por rotação das coordenadas $ (x,y)$ por um ângulo $ \phi$:

$\displaystyle x' = x \mathrm{cos}\,\phi + y \mathrm{sen}\,\phi,$

$\displaystyle y' = -x \mathrm{sen}\,\phi + y \mathrm{cos}\,\phi,$

e

$\displaystyle x = x' \mathrm{cos}\,\phi - y' \mathrm{sen}\,\phi,$

$\displaystyle y = x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi.$

Matematicamente, a Transformada Radon, denotada pelo operador $ {\cal{R}}$, é dada por:

$\displaystyle p_\phi(x')$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\cal{R}}\left[f(x,y)\right]$ (4.17)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
f(x,y)\delta\left(x\cos \phi + y \mathrm{sen}\,\phi - x'\right) dx\,dy$ (4.18)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x' \mathrm{cos}\,\phi - y' \mathrm{sen}\,\phi,
x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi\right) dy'$ (4.19)

Como a função $ p_\phi(x')$ é a projeção uni-dimensional da função $ f(x,y)$ em um ângulo $ \phi$, a transformada Radon calcula a integral da imagem bi-dimensional sobre o eixo $ y'$.

Naturalmente a Transformada Radon, ou projeção, é periódica em $ \phi$, e é simétrica, com

$\displaystyle p_\phi(x') = p_{\phi\pm \pi}(-x').$


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Modificada em 21 set 1998