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Teorema da Projeção ou Teorema da Faixa Central

Vamos considerar a relação entre a transformada de Fourier bi-dimensional da função objeto $ f(x,y)$ e a transformada de Fourier uni-dimensional da projeção $ p_\phi(x')$. Esta relação nos dá o Teorema da Projeção ou Teorema da Faixa Central (Central Slice Theorem), que é a relação fundamental para a reconstrução por projeções. A transformada uni-dimensional da projeção $ p_\phi(x')$ é dada por:

$\displaystyle P_\phi(w)$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle {\cal{F}}\left[p_\phi(x')\right]$ (4.20)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty p_\phi(x')e^{-iwx'}dx'$ (4.21)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
f\left(x' \mathrm{cos...
...}\,\phi,
x' \mathrm{sen}\,\phi + y' \mathrm{cos}\,\phi\right) e^{-iwx'}dx'\,dy'$ (4.22)

Transformando as coordenadas de $ (x',y')$ para $ (x,y)$, usando-se as relações acima, podemos reescrever:

$\displaystyle P_\phi(w) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
f(x,y)\exp\left[-iw(x\cos\phi + y\mathrm{sen}\,\phi\right]dx\,dy.$

Sabendo-se que no domínio de Fourier as coordenadas $ w_{x'} = w\cos\phi$ e $ w_{y'} = w\mathrm{sen}\,\phi$, podemos reescrever:
$\displaystyle P_\phi(w)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(w\cos\phi,w\mathrm{sen}\,\phi)$ (4.23)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle F\left(w_{x'},w_{y'}\right)\left\vert _\phi \quad ou \quad F\left(w_x,w_y\right)\right\vert _\phi$ (4.24)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle F(w,\phi)$ (4.25)

onde $ F\left(w_x,w_y\right)$ é a transformada bi-dimensional de Fourier de $ f(x,y)$, e $ \left(w_{x'},w_{y'}\right)$, ou $ \left(w_x,w_y\right)$, e $ (w,\phi)$ representam as coordenadas cartesianas e polares respectivamente, no domínio de Fourier.

Demonstramos portanto que a transformada de Fourier da projeção $ p_\phi(x')$, em um certo ângulo $ \phi$, é igual ao dado radial passando na origem em uma direção dada pelo ângulo $ \phi$ na transformada de Fourier dos dados. Com esta transformada de Fourier, podemos calcular a função $ \hat{f}(x,y)$ usando-se a transformada inversa:

$\displaystyle \hat{f}(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal{F}}^{-1}\left[F\left(w_x,w_y\right)\right]$ (4.26)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
F\left(w_x,w_y\right)
\exp\left[i\left(xw_x+yw_y\right)\right] dw_x\,dw_y$ (4.27)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \hat{f}(r,\theta)$ (4.28)


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Modificada em 21 set 1998