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Retro-projeção

Ao invés de calcular a transformada inversa das projeções diretamente, a maior parte dos algoritmos calcula a chamada retro-projeção (filtered backprojection -FB), que demonstraremos agora:

Se escrevermos $ \left(w_x,w_y\right)$ na equação 4.28 em coordenadas polares $ (w,\phi)$, podemos mostrar que:

$\displaystyle \hat{f}(r,\theta) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\infty F(w,\phi)\exp\left[iw(x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi)\right]\vert w\vert\,dw\,d\phi,$ (4.29)

onde:

$\displaystyle x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi = x',$

$\displaystyle w = \sqrt{w_x^2+w_y^2},$

$\displaystyle \phi=\tan^{-1}\frac{w_y}{w_x},$

$ w_x=w\cos\phi$ e $ w_y=w\mathrm{sen}\,\phi.$ Mudando-se os limites de integração na equação 4.28 para $ 0\leq\phi\leq \pi$ e $ -\infty \leq w \leq \infty$, e substituindo $ F(w,\phi)$ por $ P_\phi(w)$, a equação 4.28 pode ser reescrita como:
$\displaystyle \hat{f}(r,\theta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^\infty
P_\phi(w)\exp\left[iw(x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi)\right]\vert w\vert\,dw\,d\phi$ (4.30)
  $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \int_{0}^{\pi}p_\phi^*(x')d\phi,$ (4.31)

onde
$\displaystyle p_\phi^*(x')$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \vert w\vert P_\phi(w)e^{iwx'}dw$ (4.32)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal{F}}^{-1}\left[\vert w\vert P_\phi(w)\right]$ (4.33)
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\cal{F}}^{-1}\left[\vert w\vert\right]*p_\phi(x'),$ (4.34)

Na última linha fizemos uso do teorema da convolução; $ p_\phi^*(x')$ representa a retro-projeção dos dados.


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Modificada em 21 set 1998