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Retro-projeção

Ao invés de calcular a transformada inversa das projeções diretamente, a maior parte dos algoritmos calcula a chamada retro-projeção (filtered backprojection -FB), que demonstraremos agora:

Se escrevermos $\left(w_x,w_y\right)$ na equação 4.28 em coordenadas polares $(w,\phi)$, podemos mostrar que:

$$\hat{f}(r,\theta) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\infty F(w,\phi)\exp\left[iw(x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi)\right]\vert w\vert\,dw\,d\phi,$$ (4.29)

onde:

$$x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi = x',$$

$$w = \sqrt{w_x^2+w_y^2},$$

$$\phi=\tan^{-1}\frac{w_y}{w_x},$$

$w_x=w\cos\phi$ e $w_y=w\mathrm{sen}\,\phi.$ Mudando-se os limites de integração na equação 4.28 para $0\leq\phi\leq \pi$ e $-\infty \leq w \leq \infty$, e substituindo $F(w,\phi)$ por $P_\phi(w)$, a equação 4.28 pode ser reescrita como:

$$\hat{f}(r,\theta) = \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^\infty P_\phi(w)\exp\left[iw(x\cos \phi + y\mathrm{sen}\,\phi)\right]\vert w\vert\,dw\,d\phi$$ (4.30)

$$\equiv \int_{0}^{\pi}p_\phi^*(x')d\phi,$$ (4.31)

onde

$$p_\phi^*(x') = \int_{-\infty}^\infty \vert w\vert P_\phi(w)e^{iwx'}dw$$ (4.32)

$$= {\cal{F}}^{-1}\left[\vert w\vert P_\phi(w)\right]$$ (4.33)

$$= {\cal{F}}^{-1}\left[\vert w\vert\right]*p_\phi(x'),$$ (4.34)

Na última linha fizemos uso do teorema da convolução; $p_\phi^*(x')$ representa a retro-projeção dos dados.

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