A Densidade Crítica do Universo

A velocidade de escape é definida como:
v_{esc}}= \frac{2GM}{r}

e a Lei de Hubble é:
v=H_o r

Definindo a densidade equivalente à velocidade de escape como aquela correspondente à densidade crítica:
M=\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{critica}

obtemos:
H_o^2 r^2 = \frac{2G\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{critica}}{r}

ou
\rho_{\mbox{critica} = \frac{3H_o^2}{8\pi G}}
A abundância observada de deutério, e também a de hélio, indicam que a densidade bariônica (de matéria normal) não pode ser maior do que 0,1 da densidade crítica. Entretanto o movimento das galáxias em cúmulos de galáxias requer que a densidade total seja pelo menos 0,2 da densidade crítica. Parte da matéria escura precisa ser exótica. Portanto sabemos que a densidade de matéria atualmente é próxima da densidade crítica, mas não existe evidência observacional de que a densidade total seja igual à densidade crítica.

Problema da Planicidade

Entretanto, temos o problema da planicidade (flatness problem), se o Universo não for plano. Suponha que em um certo momento do Universo a densidade de matéria seja 0,5 da densidade crítica. Quando o Universo se expande por um fator de 2, a densidade crítica diminui por um fator de 4, pois depende de H2 e H \propto 1/R para energia total não nula, mas a densidade de matéria diminui por um fator de 8, pois depende de $ \rho \propto R^{-3}$. Estamos usando r=R, a distância entre as galáxias. Logo

\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_{critica}}

diminui de 0,5 para 0,25 quando o Universo se expande por um fator de 2. Como o Universo se expandiu por um fator de 1000 desde que sua temperatura era de 3000 K, a época da recombinação (captura dos elétrons formando átomos), o fato da densidade atual ser próxima da densidade crítica indica que era igual a 1 mais próximo do que uma parte em 1000 naquela época, e muito mais próximo de 1 ainda para épocas anteriores. Por exemplo, quando o Universo tinha 1 segundo, época do início das reações nucleares, a igualdade é de uma parte em 1015, e para 1 nanosegundo, 10-9 segundos, a igualdade é de uma parte em 1047.
1ns
Portanto nosso Universo iniciou com a energia cinética muito próximo da energia gravitacional, levando à suspeita de que a densidade deve ser exatamente igual à densidade crítica, isto é, $ \Omega\equiv 1$, que é um Universo plano. Neste caso a densidade crítica também depende de R-3. De outra maneira seria apenas uma mera coincidência que nós estejamos observando justamente quando a diferença da planicidade começa a ser significativa. Se o Universo é plano então a energia total é nula, e uma pequena flutuação estatística da energia do vácuo poderia formar toda a matéria (1080 partículas) existentes no Universo. Flutuações quânticas no vácuo podem vir de flutuações dos campos dos bósons, dos infinitos níveis de energia negativa dos férmions, o chamado mar de Dirac, e ainda de algumas teorias dos campos de Higgs, que podem ter energia negativa ou positiva. Os modelos inflacionários predizem $ \Omega\equiv 1$ porque a expansão inflacionária é tão gigantesca que qualquer que fosse a geometria antes da inflação, ela é plana após a expansão. Uma outra vantagem da inflação é que ela ocorre após a formação dos monopolos magnéticos, preditos pelas teorias de Grande Unificação e, portanto, dilui a densidade destes para números muito pequenos.

A energia total E de uma galáxia de massa m a uma distância R, deslocando-se com velocidade v em um campo gravitacional dado por uma massa M, é dada por:

E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}

Usando-se a Lei de Hubble v=H R e escrevendo a massa M em função da densidade de massa:

M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho

podemos derivar a equação de Friedmann:
H^2=\frac{8}{3}\pi G\rho - \frac{2E}{mR^2}

para o caso geral de energia E. Para matéria não relativística, \rho \propto R^{-3} e o primeiro termo decresce mais rapidamente que o segundo termo (termo de curvatura) e, portanto, o segundo domina para R grande. Deste modo, se a energia E não for nula, H2 é proporcional a R-2.
H^2\propto R^{-2}
Entretanto, se a densidade for igual à densidade crítica, o primeiro termo domina sobre o termo de curvatura, que torna-se nulo, já que E=0 se a velocidade for igual à velocidade de escape, por definição.
H^2\propto R^{-3}


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Modificada em 12 ago 2003