A Densidade Crítica do Universo

A velocidade de escape é definida como:

e a Lei de Hubble é:

Definindo a densidade equivalente à velocidade de escape como aquela correspondente à densidade crítica:

obtemos:

ou

A abundância observada de deutério, e também a de hélio, indicam que a densidade bariônica (de matéria normal) não pode ser maior do que 0,1 da densidade crítica. Entretanto o movimento das galáxias em cúmulos de galáxias requer que a densidade total seja pelo menos 0,2 da densidade crítica. Parte da matéria escura precisa ser exótica. Portanto sabemos que a densidade de matéria (e energia) atualmente é próxima da densidade crítica, mas não existe evidência observacional de que a densidade total seja igual à densidade crítica.

Problema da Planicidade

Entretanto, temos o problema da planicidade (flatness problem), se o Universo não for plano. Suponha que em um certo momento do Universo a densidade de matéria seja 0,5 da densidade crítica. Quando o Universo se expande por um fator de 2, a densidade crítica diminui por um fator de 4, pois depende de H² e para energia total não nula, mas a densidade de matéria diminui por um fator de 8, pois depende de $\rho \propto R^{-3}$. Estamos usando r=R, a distância entre as galáxias. Logo

diminui de 0,5 para 0,25 quando o Universo se expande por um fator de 2. Como o Universo se expandiu por um fator de 1000 desde que sua temperatura era de 3000 K, a época da recombinação (captura dos elétrons formando átomos), o fato da densidade atual ser próxima da densidade crítica indica que era igual a 1 mais próximo do que uma parte em 1000 naquela época, e muito mais próximo de 1 ainda para épocas anteriores. Por exemplo, quando o Universo tinha 1 segundo, época do início das reações nucleares, a igualdade é de uma parte em 10¹⁵, e para 1 nanosegundo, 10^-9 segundos, a igualdade é de uma parte em 10⁴⁷.

Portanto nosso Universo iniciou com a energia cinética muito próximo da energia gravitacional, levando à suspeita de que a densidade deve ser exatamente igual à densidade crítica, isto é, $\Omega\equiv 1$, que é um Universo plano. Neste caso a densidade crítica também depende de R^-3. De outra maneira seria apenas uma mera coincidência que nós estejamos observando justamente quando a diferença da planicidade começa a ser significativa. Se o Universo é plano então a energia total é nula, e uma pequena flutuação estatística da energia do vácuo poderia formar toda a matéria (10⁸⁰ partículas) existentes no Universo. Flutuações quânticas no vácuo podem vir de flutuações dos campos dos bósons, dos infinitos níveis de energia negativa dos férmions, o chamado mar de Dirac, e ainda de algumas teorias dos campos de Higgs, que podem ter energia negativa ou positiva. Os modelos inflacionários predizem $\Omega\equiv 1$ porque a expansão inflacionária é tão gigantesca que qualquer que fosse a geometria antes da inflação, ela é plana após a expansão. Uma outra vantagem da inflação é que ela ocorre após a formação dos monopolos magnéticos, preditos pelas teorias de Grande Unificação e, portanto, dilui a densidade destes para números muito pequenos.
A energia total E de uma galáxia de massa m a uma distância R, deslocando-se com velocidade v em um campo gravitacional dado por uma massa M, é dada por:

Usando-se a Lei de Hubble v=H R e escrevendo a massa M em função da densidade de massa:

podemos derivar a equação de Friedmann:

para o caso geral de energia E. Para matéria não relativística, e o primeiro termo decresce mais rapidamente que o segundo termo (termo de curvatura) e, portanto, o segundo domina para R grande. Deste modo, se a energia E não for nula, H² é proporcional a R^-2.

Entretanto, se a densidade for igual à densidade crítica, o primeiro termo domina sobre o termo de curvatura, que torna-se nulo, já que E=0 se a velocidade for igual à velocidade de escape, por definição.

Cosmologia
Volta: Astronomia e Astrofísica