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Recombinação

Intuitivamente espera-se que quando a energia média de um fóton da radiação do fundo do Universo caisse abaixo de 13,6 eV, a energia de ionização do hidrogênio, a maior parte do hidrogênio torna-se-se neutra. Podemos definir $z_{rec}$ como o desvio para o vermelho (redshift) para o qual os elétrons e prótons recombinam, formando o hidrogênio neutro. O termo recombinação, usado por James Peebles em 1950, é um pouco problemático, pois nesta época da evolução do Universo, os elétrons e prótons estavam se combinando pela primeira vez.

Na verdade, como veremos a seguir, a temperatura de recombinação é da ordem de 5 vezes menor do que a correspondente a 13,6 eV, porque o espaço de fase dos elétrons livres é muito maior do que o espaço de fase dos elétrons ligados, o que faz com que os elétrons permaneçam livres por mais tempo.

Consideremos a reação

$e^{-}+ p^+\rightleftharpoons H + \gamma.$

Em equilíbrio químico, temos:

$$\mu_e+\mu_p = \mu_H + \mu_\gamma = m_H,$$ (1.30)

já que o potencial químico dos fótons é nulo. Nesta equação, $p$ representa o próton.

A equação de Saha é obtida combinando-se esta expressão com a função distribuição para as espécies em questão:

$n(p) = \frac{g}{h^3}[\exp(\frac{E(p)-\mu}{kT})\pm 1]^{-1}$

onde $p$ é o momentum, $g$ é o fator de degenerescência, o sinal mais se aplica aos férmions, isto é, partículas que obedecem à distribuição de momentum de Fermi-Dirac, como os prótons e os elétrons, e o sinal menos é para os bósons, isto é, partículas que obedecem à distribuição de Bose-Einstein, como os fótons. A função distribuição é definida de forma que $n(p) d^3 x\,d^3p$ é o número de partículas no elemento de volume $d^3x\,d^3p$ do espaço de fase. Como estamos interessados em energias próximas a 13,6 eV, os elétrons e os prótons são não relativísticos, $(mc^2-\mu)\gg kT$,

$E(p)=mc^2+\frac{p^2}{2m}.$

Assumindo que as densidades eram não degeneradas, a densidade de partículas pode ser escrita como a distribuição de Boltzmann:

$n = \int_0^\infty n(p)\,d^3p = \frac{4\pi g}{h^3} \int_0^\infty p^2 e^{-\frac{p^2}{2mkT}}e^{\frac{\mu-mc^2}{kT}}dp.$

Integrando, obtemos:

$$\mu = kT \ln (\frac{n}{gn_Q}) + mc^2,$$ (1.31)

onde a densidade quântica $n_Q$ é definida como:

$n_Q = (\frac{2\pi mkT}{h^2})^{3/2}$

Colocando-se o valor do potencial químico (31) na equação do equilíbrio químico (30), obtemos:

$$kT[\ln(\frac{n_e}{g_en_{Qe}}) +\ln(\frac{n_p...) -\ln(\frac{n_H}{g_Hn_{QH}})]= (m_H-m_p-m_e)c^2.$$ (1.32)

Nesta equação voltamos a usar $p$ para representar um próton, e não o momentum. O termo da direita da equação (32) é a energia de ligação do hidrogênio, $\Delta E = 13,6$ eV. Os fatores de degenerescência são $g_e=g_p=2$ e $g_H=4$. Assumindo $m_p \approx m_H$ nos valores de $n_Q$, obtemos a equação de Saha para a reação:

${\frac{n_pn_e}{n_H}=(\frac{2\pi m_e kT}{h^2})^{3/2} e^{-\frac{\Delta E}{kT}}}$

Definindo a fração de ionização $x$ por $n_e=n_p=xn$, onde a densidade total $n=n_e+n_p+n_H$, obtemos uma equação transcendental para $x$ em termos do desvio para o vermelho $z$ substituindo-se $T=2,726~K(1+z)$ e $n=n_0(1+z)^3$. O desvio para o vermelho para a época de recombinação $x=1/2$ pode ser obtido usando o valor da densidade de partículas no presente,

$n_0\simeq \frac{\rho_0}{m_H},$

já que o hidrogênio compõe aproximadamente 75% da massa bariônica do Universo, obtemos

$z_{rec} \approx 1360.$

A temperatura nesta época era de

$T=T_0(1+z)\approx 3700~{K} \longrightarrow kT \approx 3~{eV}$

muito menor do que 13,6 eV. Podemos utilizar uma massa média de bárions um pouco mais precisa, pois quase a totalidade dos 25% restantes de massa em bárions está na forma de átomos de hélio, de modo que:

$\bar{m}_b \simeq 0,75 m_H + 0,25 m_{He} \simeq 0,75 m_p + 0,25\times 4m_p = 1,75 m_p.$

Logo após a recombinação temos a época do desacoplamento da radiação com a matéria, uma vez que quando os elétrons e prótons combinam-se, o Universo se torna muito menos opaco. Os elétrons ligados só são capazes de interagir com os fótons com energia discretas, correspondentes aos níveis de excitação, ou com energias maiores do que a energia de ionização, mas como vimos a energia média dos elétrons é muito menor do que esta energia. O livre caminho médio dos fótons torna-se então muito grande, já que eles viajam grandes distâncias sem interagir com a matéria. Dizemos então que a radiação está desacoplada da matéria.

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