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Cosmologia na Relatividade Geral

A observação de que o Universo é homogêneo e isotrópico, e que está em expansão segundo a lei de Hubble, produz condições suficientes para que a Teoria da Relatividade Geral prediga concretamente a topologia e a evolução do Universo.

Para um sistema isotrópico e homogêneo, podemos escrever as coordenadas em um sistema esférico, e considerar somente a coordenada radial, que chamaremos de $ r$, distância média entre as galáxias, e a coordenada temporal, $ t$. Pode-se demonstrar que a componente i=0, k=0 ou i=t, k=t do tensor de Einstein $ G_{ij}$:

${G_{ik} \equiv R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R}$

é dada por:

$G_{00} \equiv R_{00} - \frac{1}{2}g_{00}R = -\left(R_{12}^{12}+R_{23}^{23}+R_{31}^{31}\right).$

A condição de homogeneidade implica que a métrica deve ser homogênea. Para uma esfera de raio r, em três dimensões, uma geodésica é dada por:

$\displaystyle ds^2 = r^2\left(d\theta^2 + \mathrm{sen}^2 \theta\, d\phi^2\right).$

Para uma métrica de Friedmann, onde para cada valor de $ t$ o espaço-tempo representa um hiper-esfera quadri-dimensional de circunferência própria $ C$, e o locus $ r\,\mathrm{sen}\,\chi=\mathrm{constante}$ define esferas de área $ A$, temos:

ds^2 = c^2dt^2 - r(t)[d\chi^2 + sen^2 \chi\,(d\theta^2 + sen^2 \theta d\phi^2)]

A circunferência própria ($ C$) é dada por:

$\displaystyle C \equiv \int_0^{2\pi} r(t)d\phi = 2\pi r(t),$

a área da superfície ($ A$):

$\displaystyle A \equiv \int_0^\pi r(t)d\theta \int_0^{2\pi} r(t)\,\mathrm{sen}\,\theta \,d\phi
= 4\pi r^2(t),$

e o volume ($ V$) da quadri-esfera:

$V \equiv \int_0^\pi r(t)d\chi\int_0^\pi r(t) sen\chi ...  sen\chi sen\theta \,d\phi = 2\pi r^3(t).$

Neste caso,

$R_{00} - \frac{1}{2}g_{00}R = 3r^{-2}(c^2+\dot{r}^2)$

A equação (24), com $ \Lambda=0$, se reduz a:

$\frac{\dot{r}^2}{r^2} - \frac{8\pi G}{3}\rho = -\frac{c^2}{r^2},$ (1.27)

já que pela equação (23):

$T_{00} = (\rho c^2+P)u_0u_0-Pg_{00}=\rho c^4.$

Como o volume total deste Universo fechado é $ 2\pi r^3$, identificando $ M$ como a massa total em prótons, nêutrons, elétrons, etc.,

$\displaystyle \rho_m = \frac{M}{2\pi r^3,}$

e a equação (27) pode ser escrita como:

$\frac{1}{2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 - \frac{2}{3}\frac{GM}{\pi r} = - \frac{1}{2}c^2.$ (1.28)

Fazendo a mudança para variáveis adimensionais

$\displaystyle \xi = \frac{3\pi c^2}{4GM}r,$

$\displaystyle \tau = \frac{3\pi c^3}{4GM}t,$

a equação (28) pode ser re-escrita como:

$(\frac{d\xi}{d\tau})^2 - \frac{1}{\xi} = -1,$

que nós já resolvemos com a solução da equação (14) para o caso do Universo fechado. A densidade total é dada por:

$\displaystyle \rho = \rho_{\mathrm{mat},0}\frac{r_0^3}{r^3} +
\rho_{\mathrm{rad},0}\frac{r_0^4}{r^4}.$

Quando o Universo está dominado por matéria,

$\displaystyle r=\frac{r_\mathrm{max}}{2}\left(1-\cos \eta\right),$

$t=\frac{r_{max}}{2c}(\eta-{sen}\eta),$

onde

$r_{max} = \frac{8\pi}{3c^2}r_0^3\rho_{{mat},0},$

e como:

$H^{-1} \equiv \frac{a}{da/dt} = \frac{a^2}{da/d\eta},$

$H^{-1} = \frac{r_{max}}{2}\frac{(1-\cos\eta)^2}{sen \eta}.$

Quando o Universo era dominado pela radiação:

$r=r_*sen \eta,$

$t=\frac{r_*}{c}(1-\cos\eta)$

onde

$r_* = \sqrt{\frac{8\pi}{3c^2}r_0^4\rho_{{rad},0}}$

e

$H^{-1} = r_*\frac{sen^2 \eta}{\cos\eta}.$

Podemos expandir a equação (27) para $ r$ pequeno em:

$r\dot{r} = (\frac{8\pi G\rho_{rad,0}}{3})^{1/2} r_0^2,$

e integrar, assumindo $ r=0$ para $ t=0$,

$\frac{r^2}{2}= (\frac{8\pi G\rho_{rad,0}}{3})^{1/2} r_0^2 t,$

ou seja,

$r \propto t^{1/2},$   ${para $\rho \simeq \rho_{rad}$

O físico-matemático americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matemático inglês Arthur Geoffrey Walker (1909-), demonstraram em 1935 e 1936 que a métrica mais geral que satisfaz a condição de homogeneidade e isotropia para a geometria do espaço-tempo é a chamada métrica de Robertson-Walker:

${ds^2 = c^2dt^2 - a^2(t)[\frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2(d\theta^2 + sen^2 \theta d\phi^2)]}$

Esta métrica pode ser convertida para a forma de Friedmann, com um fator de renormalização. Para a métrica de Robertson-Walker, a componente (00) da equação de campo de Einstein se reduz a:

${\frac{\dot{a}^2}{a^2}-\frac{8\pi G}{3}\rho = -K\frac{c^2}{a^2}.}$

Como na Equação (3), podemos identificar a constante de Hubble como:

${H(t) = \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}.}$

A trajetória de uma galáxia que se move junto com a expansão do Universo é dada por $ (r,\theta,\phi)=$constante, enquanto que a trajetória de um fóton satisfaz $ ds^2=c^2dt^2-d\ell^2=0$. Portanto a distância $ \ell$ que um fóton percorre afastando-se radialmente ($ \theta$ e $ \phi$ mantidos constantes) de uma fonte é governada pela equação diferencial:

$a^2(t)\frac{(dr/dt)^2}{1-Kr^2}=\left(\frac{d\ell}{dt}\right)^2=c^2.$ (1.29)

Logo of fótons sempre atravessam uma distância própria $ \ell$ em um intervalo de tempo próprio $ (t-t_0)$ à velocidade da luz $ c$,

$\ell=c(t-t_0).$

Após ser emitido por uma fonte isotrópica, o fóton atravessa uma esfera de área $ 4\pi r^2(t) a^2(t)$ em um tempo $ t$, mas esta área não é igual a $ 4\pi \ell^2$, pois depende do valor de $ k$ e de $ a(t)$.

Por exemplo, para um Universo de Einstein-de Sitter, isto é, plano, K=0 e

$a(t)=a_0(\frac{t}{t_0})^{2/3}$

Se o fóton for emitido num tempo $ t_e$, o desvio para o vermelho $ z$ na recepção será dado por:

$1+z \equiv \frac{a_0}{a(t)} = (\frac{t_0}{t_e})^{2/3}$

A equação (29), para $K=0$, se reduz a:

$\frac{dr}{dt}=\frac{c}{a(t)},$
de modo que
$r(t_0)=\frac{3c}{a_0}t_0[1-(\frac{t_e}{t_0})^{1/3}]$
onde $ 4\pi a^2(t)r^2(t_0)$ é a área da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. Como $ r(z)=a_0r(t_0)$,
$r(z)=\frac{2c}{H_0}\left[1-(1+z)^{-\frac{1}{2}}\right],$
já que para o Universo plano $t_0 = (2/3)H_0^{-1}$. Tendo em vista que Universo plano é Euclidiano, $r(z)$ é a distância no presente da fonte, também chamada de distância de comovimento, ou distância radial própria. O raio de comovimento atual é de 21 giga anos-luz.

A distância que o fóton atravessou deste que foi emitido, chamada de distância de viagem da luz, é dada por:

$\ell(z)=c(t_e-t_0) = \frac{2c}{3H_0}[1-(1+z)^{-\frac{1}{2}}]$
e portanto uma fonte com alto valor de $ z$ está mais longe do que a distância atravessada pela luz.

Definindo a pressão de cada componente como $P_i=w_i\rho_i$, $\nabla_\mu T^{\mu,\nu}=0$ implica que a densidade será expressa como

\rho_i\propto a^{-n_i}= a^{-3(1+w_i)}

e o parametro de desaceleração

q=-\frac{\ddot{a}a}{\dot{a}^2}=\sum_i \frac{n_i-2}{2}\Omega_i

e
q=\frac{1}{2}\Omega_M-\Omega_\Lambda

para um universo dominado por matéria e constante cosmológica, já que $w_M=0$, $w_{\mathrm{rad}}=1/3$ e $w_\Lambda=-1$.

A radiação do fundo do Universo é normalmente decomposta em esféricos harmônicos

\frac{\Delta T}{T} = \sum_{\ell,m} a_{\ell,m} Y_{\ell,m} (\theta,\phi)

e o momentum de multipolo é dado por

C_\ell = <\vert a_{\ell,m}^2 \vert>

relacionado à separação angular

\theta=\frac{180^o}{\ell}

O valor de $\ell$ do primeiro "pico Doppler", um aumento na potência devido a oscilações acústicas, é diretamente proporcional ao valor de $H_{recombinação}^{-1}$, pois é a escala angular subentendida pelo raio de Hubble quando os fótons da radiação de fundo se originaram, na época da recombinação.

\ell_{acústico}\simeq 220 \Omega^{-\frac{1}{2}}


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Modificada em 19 jun 2011