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Degenerescência Parcial

Para a região de transição, ou para o caso geral, precisamos utilizar a distribuição de Fermi-Dirac (1.2)

estatística de Fermi-Dirac

(1.2)

na equação da pressão (1.7):

$${P = \frac{1}{3}\int_0^\infty p\cdot v\cdot n(p)\,dp}$$ (1.7)

obtendo

$$P_e = \frac{8\pi}{3h^3}\int_0^\infty \frac{p^3v_pdp}{\exp[(E-E_F)/kT]+1}$$ (1.18)

e obter a energia de Fermi E_F integrando-se a densidade total:

$$n_e = \frac{2}{h^3}\int_0^\infty \frac{4\pi p^2dp}{\exp[(E-E_F)/kT]+1}$$ (1.19)

Para temperaturas menores que T=10⁹ K, a degenerescência total inicia-se antes dos elétrons tornarem-se relativísticos, de modo que podemos nos restringir a velocidades não relativísticas para a degenerescência parcial, isto é, podemos utilizar v_p=p/m_e e E=p²/2m_e, de modo que

$$P_e = \frac{8\pi}{3h^3m_e}\int_0^\infty \frac{p^4dp}{\exp[(\frac{p^2}{2m_e}-E_F)/kT]+1}$$ (1.20)

e

$$n_e = \frac{8\pi}{h^3}\int_0^\infty \frac{p^2dp}{\exp[(\frac{p^2}{2m_e}-E_F)/kT]+1}$$ (1.21)

Podemos definir dois parâmetros adimensionais, α=a energia de Fermi comparada com a energia térmica,

e u=a energia cinética comparada com a energia térmica,

$u \equiv \frac{p^2}{2m_ekT}$

e escrever

e

constituindo duas equações paramétricas para a equação de estado.

Definindo-se duas funções:

que não têm solução exatas, podemos escrever

$P_e = \frac{8\pi kT}{3h^3}(2m_ekT)^\frac{3}{2}F_\frac{3}{2}(\alpha)$

e

$n_e = \frac{4\pi}{h^3}(2m_ekT)^\frac{3}{2}F_\frac{1}{2}(\alpha)$

e finalmente

$${P_e = n_e kT \left[\frac{2F_\frac{3}{2}(\alpha)}{3F_\frac{1}{2}(\alpha)}\right]}$$ (1.22)

O fator $2F_\frac{3}{2}/3F_\frac{1}{2}$ mede o desvio da pressão eletrônica em relação ao gás não degenerado, e varia de 8 para α=-20 - energia térmica muito maior do que a energia de Fermi -, a 1 para α > 1 - energia de Fermi maior do que a energia térmica. Lembrando que a energia de Fermi é a energia do estado mais alto ocupado pelos elétrons de um sistema, para T=0, para uma anã branca normal a energia de Fermi é da ordem de 300 keV, enquanto kT=k×10⁶ K=86 eV.

Diagrama mostrando qual o estado do gás para as combinações de densidade e temperatura ρ-T. O gás ideal é válido para grande parte das condições das estrelas na sequência principal.

Note que os íons normalmente são não degenerados, exceto nas estrelas de nêutrons, pois seu espaço de fase é muito maior que o dos elétrons já que sua massa é cerca de 2000 vezes maior. Para a mesma energia térmica

$E_t=\frac{3}{2}kT,$

que corresponde a energia cinética,

$E_c = \frac{1}{2}mv^2,$

pois os íons são não relativísticos, a velocidade dos íons é muito menor do que a velocidade dos elétrons. Portanto:

$P_{\mbox{g\'as}} = P_e + \frac{N_A k}{\mu_i}\rho T,$

onde μ_i é o peso molecular médio dos íons

$\frac{1}{\mu_i} = \sum \frac{X_Zn_Z}{A_Z}$

Precisamos ainda levar em conta a contribuição da pressão de radiação à pressão total. Para comparação, esta contribuição passa de 2,1% para uma estrela de 5  M_⊙ para 11% para uma estrela de 15 M_⊙.

$P_{total} = P_e + \frac{N_A k}{\mu_i}\rho T +P_rad$

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