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Pressão Mecânica

Um gás perfeito - ideal - é definido como aquele em que não há interação entre as partículas do gás. Embora este critério nunca seja satisfeito, a aproximação é válida quando a energia de interação entre as partículas é muito menor que sua energia térmica.

A fonte microscópica de pressão em um gás perfeito é o bombardeamento de partículas. A reflexão, ou absorção, destas partículas em uma superfície real ou imaginária resulta em transferência de momentum para esta superfície. Pela Segunda Lei de Newton F=dp/dt, o momentum transferido exerce uma força na superfície. A força média por unidade de área é chamada de pressão. É a mesma quantidade na expressão: trabalho = P∙dV, em uma expansão infinitesimal.

Pressão: Secção cônica na direção θ à normal.

Para um gás em equilíbrio térmico, a distribuição de momentum é isotrópica, isto é, as partículas se movem com a mesma probabilidade em todas as direções. Quando refletidas em uma superfície, as partículas transferem momentum a esta superfície. Quando uma partícula de momentum p, deslocando-se com um ângulo θ à normal, é refletida na superfície, o momentum transferido é

$\Delta p = 2p \cos \theta.$

Seja $F(\theta,p)d\theta dp$ é o número de partículas com momentum p no intervalo dp colidindo com a parede, por unidade de área, por unidade de tempo, de todas as direções inclinadas com um ângulo θ à normal, no intervalo dθ. A contribuição à pressão total (dP) é dada por:

$dP = 2p\cos\theta F(\theta,p)d\theta dp$

de modo que a pressão total P é:

$$P = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{p=0}^\infty 2p\cos\theta\,F(\theta,p)d\theta dp$$ (1.6)

O fluxo de partículas $F(\theta,p)d\theta dp$ de velocidade v pode ser calculado como o produto da densidade de partículas com momentum p movendo-se no cone com ângulo θ, vezes o volume das partículas que passarão pela unidade de área, na unidade de tempo. Este volume é dado por:

para dA e dt unitários já que estamos calculando o fluxo, isto é, número de partículas por unidade de área e unidade de tempo. Logo,

$F(\theta,p)d\theta dp= v\cos\theta n(\theta,p) d\theta dp,$

onde $n(\theta,p)$ é a densidade - número de partículas por unidade de volume - no cone referido.

Para um gás isotrópico:

$\frac{n(\theta,p)d\theta dp}{n(p)dp}=\frac{2\pi sen\theta d\theta}{4\pi},$

que é a fração do ângulo esférico total definido pelo cone.

Ou seja, a pressão é dada por:

$P=\int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{p=0}^\infty 2p\cos\theta\,v\cos\theta n(p)dp\,\frac{1}{2}\mathrm{sen} \theta d\theta.$

Como

$\int_{\theta=0}^{\pi/2} \cos^2\theta sen\theta d\theta = \int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3},$

a pressão de um gás isotrópico é dada por:

$${P = \frac{1}{3}\int_0^\infty p\cdot v\cdot n(p)\,dp}$$ (1.7)

Esta integral precisa ser calculada para diferentes circunstâncias, já que a relação entre o momentum p e a velocidade v depende de considerações relativísticas, enquanto a forma da distribuição n(p) depende do tipo de partículas e da estatística quântica.

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  • Degenerescência Total Relativística
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