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Cristalização

Desde o início dos anos 1960, Aleksei Alexeevich Abrikosov (1928-2017) (1960, Zhurnal Eksperimentalnoi i Teoreticheskoi Fiziki, 39, 1798) ganhador do Nobel 2003 por supercondução, e David Abramovich Kirzhnits (1926-1998) (1960, Soviet Physics - Journal of Experimental and Theoretical Physics, 11, 365), na Rússia, e Edwin Ernest Salpeter (1925-2008) (1961, Astrophysical Journal, 134, 669) nos Estados Unidos, reconheceram independentemente que as interações Coulombianas, nas temperaturas relativamente baixas características das anãs brancas frias, forçam os íons a formar um sólido cristalino.

A cristalização altera drasticamente o esfriamento das anãs brancas, devido à liberação do calor latente de cristalização e à mudança na capacidade térmica após a cristalização [Hugh M. Van Horn (1938-), 1968, Astrophysical Journal, 151, 227].

O parâmetro principal para a cristalização é Γ, a razão entre a energia da interação de Coulomb e a energia térmica:

$\Gamma = {(Ze)^2/{\langle} r {\rangle} \over kT} = 2,28 {Z^2 \over A^{1/3}} {(\rho / 10^6 {\rm\,g\, cm^{-3}})^{1/3} \over T/10^7 {\rm K}},$

já que ${4 \over 3} \pi {\langle} r {\rangle}^3 = {\rho \over AH}$, onde ${\langle} r {\rangle}$ é o raio médio da esfera contendo um só íon, e H é a unidade de massa atômica.

Quando Γ é pequeno, as interações Coulombianas são pequenas e os íons formam um gás ideal, não interagente. Quando Γ≅1, os íons sofrem interações de curto alcance e se comportam com um fluido. Nos modelos numéricos de Stephen George Brush (1935-), Harry L. Sahlin (1935-1979) & Edward Teller (1908-2003) (1966, Journal of Chemical Physics, 45, 2102), a transição líquido-sólido ocorria para Γ≅126. De acordo com os cálculos de 1978 de Carl John Hansen (1933-2011), e de 1987 de Shuji Ogata e Setsuo Ichimaru, e outros, o início da cristalização do carbono ocorre quando $\Gamma \equiv \Gamma_m \simeq 180 \pm 1$. Nos modelos evolucionários de Matthew Allan Wood (1961-), que podem ser obtidos de http://faculty.tamuc.edu/mwood/wd.html, com Γ=180, o início da cristalização para uma anã branca de 0,6 $M_\odot$ ocorre para T_ef=6000 K se o núcleo for de C ($t_{esfriar} \simeq 2$ Gano, $L\simeq 10^{-3,8}L_{\odot}$), e para T_ef=7200 K se o núcleo for de O. Os núcleos estarão a temperaturas de $3\times 10^6$ K (carbono) e $5\times 10^6$ K (oxigênio). Em 1991, Kepler de Souza Oliveira Filho (1956-) e seus colaboradores Antonio Nemer Kanaan Neto (1966-), Odilon Giovannini Jr. (1966-) e Marcos Perez Diaz (1964-) descobriram a anã branca variável BPM 37093 = LTT 4816, com massa de $M_\star = (1,05 \pm 0,05)~M_\odot$ e $T_{ef}=12500~{K}$, e em 1998 demonstraram com os colaboradores do Whole Earth Telescope que ela está pelo menos 50% cristalizada. Em 2005, Antonio Kanaan et al. "Whole Earth Telescope observations of BPM 37093: A seismological test of crystallization theory in white dwarfs", Astronomy & Astrophysics, 432, 219), demonstraram que ela deve estar 90% cristalizada. Em 2013, James Joseph Hermes, S. O. Kepler, Barbara Garcia Castanheira, Alex Gianninas, Don Earl Winget, Michael Houston Montgomery, Warren R. Brown & Samuel T. Harrold, (Discovery of an Ultramassive Pulsating White Dwarf, Astrophysical Journal Letters, 771, L2), relatam a descoberta de uma anã branca pulsante com 1,20±0,03 M_⊙ e T_ef=12 030±210 K, que portanto deve estar ainda mais cristalizada do que a BPM 37093.

Em 2010, Charles J. Horowitz, Andre S. Schneider & Don K Berry (Physical Review Letters, 104, 1101) um estudo do diagrama de fase da cristalização de mistura de carbono e oxigênio, demonstrando que a cristalização da mistura ocorre em temperatura cerca de 1,23× mais baixa do que carbono puro, já que as impurezas dificultam a cristalização, levando a Γ=E_Coulomb/E_térmica≅ 220. Os mesmos resultados foram encontrados por Zach Medin & Andrew Cummingem (2010, Physical Review E, 81, 036107). Alejandra Daniela Romero, S.O. Kepler, Alejandro Hugo Córsico, Leandro Gabriel Althaus & Luciano Fraga (2013, Asteroseismological Study of Massive ZZ Ceti Stars with Fully Evolutionary Models, Astrophysical Journal, 779, 58), demonstraram que os dados sismológicos são consistentes com Γ=220, consistentes com a mistura de carbono e oxigênio no núcleo predita pelos modelos.

A cristalização da estrela, além de alterar o calor específico dos íons, pode levar à separação de fase, isto é, à deposição do oxigênio para o centro, formando cristais separados de carbono e oxigênio, dependendo de como for a transição de fase: tipo spindle, azeotrópica ou eutética. Como a cristalização nas condições de pressão e temperatura do interior das anãs brancas não pode ser testada em laboratório, é preciso calculá-la. Mas os efeitos quânticos são importantes. Gilles Chabrier, Neil W. Ashcroft & Hugh W. DeWitt (1992, Nature, 360, 48), calcularam a energia de interação entre os íons e demonstraram que E₀/kT >2 após a transição de fase, isto é, os cristais no interior das anãs brancas são cristais quânticos.

Curvas de cristalização para ⁴He, ¹²C, ¹⁶O, ²⁴Mg e ⁵⁶Fe publicados por Donald Quincy Lamb (1945-) & Hugh M. van Horn (1938-), (1975, Astrophysical Journal, 200, 306). A curva pontilhada corresponde a divisória entre pressão de um líquido quântico (abaixo da curva) e de um gás ideal (acima da curva), isto é, os efeitos quânticos iônicos são importantes à direita da linha pontilhada. Quando a temperatura efetiva atinge esta curva, por esfriamento, ocorre uma pequena descontinuidade na capacidade térmica dos íons, devido à transição de fase.

Diagrama da Transição de Fase calculado por Laurent Segretain, Gilles Chabrier, Margareta Hernanz, Enrique García-Berro, Jordi Isern & Robert Mochkovitch (1994, Astrophysical Journal, 434, 641).

A forma do diagrama determina se durante a cristalização ocorre ou não separação entre os elementos:

• Tipo spindle (eixo), como o mostrado em linha pontilhada, existe mistura dos elementos na fase cristalizada, mas com mais oxigênio do que carbono, por exemplo. Estes cálculos mostram que esta situação deveria ocorrer para Z₁/Z₂ > 0,72, como no caso do C/0 → Z₁/Z₂=0,75.
• Mistura azeotrópica (mistura com mesma proporção dos elementos antes e após a cristalização) para 0,50<Z₁/Z₂<0,72, como no caso de CO/²²Ne, e
• Eutético (total separação dos elementos) para Z₁/Z₂<0,29, como no caso de CO/⁵⁶Fe.

Portanto a cristalização, nestes modelos, deixa uma região sólida enriquecida em oxigênio, em comparação com a mistura original de C/O. A razão exata depende da composição inicial. E a composição inicial depende da seção de choque de C(α,γ)O, podendo variar de X_O≈0,80 a X_O≈0,50 para uma anã branca de 0,6 M_⊙, se usarmos os limites alto e baixo desta secção de choque.

Efeito da separação de fase no esfriamento das anãs brancas frias: Gilles Chabrier, Pierre Brassard, Gilles Fontaine & Didier Saumon (2000, Astrophysical Journal, 534, 216) estimam um aumento de 14% do tempo de esfriamento para uma anã branca de 0,6 M_⊙, até atingir L=10^-4,5L_⊙ devido à sedimentação do oxigênio.

Efeito da separação de fase no esfriamento das anãs brancas frias.


Em cima, diagrama de fase calculado por dinâmica molecular. À esquerda, separação de fases de C (vermelho) e O (preto). À direita, separação líquido (púrpura) e sólido (preto), com uma interface em vermelho, de acordo com os modelos de Andre S. Schneider, Joseph Hughto, Charles J. Horowitz & Don K. Berry (Direct molecular dynamics simulation of liquid-solid phase equilibria for two-component plasmas, 2012, Physical Review E, 85, 6405; Joseph Hughto, Charles J. Horowitz, Andre S. Schneider, Zach Medin, Andrew Cumming & Don K. Berry, Direct molecular dynamics simulation of liquid-solid phase equilibria for a three-component plasma, 2012, Physical Review E, 86, 6413).

A perda de energia interna por unidade de massa, E, de cada camada da estrela pode ser escrita como:

$\frac{dE}{dt} = -\frac{dL_r}{dm} -\epsilon_\nu -P\frac{dV}{dt}$

onde L_r é a luminosidade local, ε_ν a perda de energia por unidade de massa em neutrinos, V=1/⍴.

Se a anã branca é composta de dois elementos químicos, por exemplo C e O, de modo que $X_C+X_O=1$, podemos reescrever esta equação como:

$-\left(\frac{dL_r}{dm}-\epsilon_\nu\right) = C_V \frac{dT}{dt} + T (\frac{\partial P}{\partial T})\frac{dV}{dt} - l_s \frac{dM_s}{dt}\delta(m-M_s) (\frac{\partial E}{\partial X_O)\frac{dX_O}{dt}$

onde l_s é o calor latente, dM/dt a taxa com que o cristal cresce, e a função delta indica que o calor latente só é liberado na frente de solidificação (Jordi Isern et al. 1997, Astrophysical Journal, 485, 308).

Durante a cristalização, o calor latente de fusão $T\Delta s \sim {3\over 4} {kT \over AH}$, correspondendo a ΔE≅2×10⁴⁶ergs para uma anã branca de 0,6 M_⊙, é liberado, aumentando o tempo de esfriamento em 30%, acima do valor calculado pela teoria de Mestel. Para esta anã branca de 0,6 M_⊙, isto ocorre quando L=10^-4,5L_⊙, e corresponde a Δt≅1,8 Ganos (Leandro Gabriel Althaus et al. 2010, Astronomy & Astrophysics Review). Ao cristalizar, o calor específico dos íons $c_V^{ion}$ aumenta de ${3 \over 2} {k\over AH}$ para $3 {k\over AH}$, de modo que o tempo de vida da anã branca aumenta por uma fator de dois, até que o núcleo atinja a temperatura de Debye [Peter Debye (1884-1966)].

A temperatura de Debye ($\Theta_D$), é definida como

$2,240 {\Theta_{D} \over T} \equiv {\hbar w_p \over kT},$

${\rm ou}\qquad\Theta_D = 1,74 \times 10^3 \rho_c^{1/2} \left({2Z \over A}\right)\approx 2\times 10^6 {\rm K},$

onde

é a frequência de plasma para um gás degenerado. Para temperaturas abaixo da temperatura de Debye, a excitação de fonons de alta energia torna-se impossível, o calor específico começa a cair, e o esfriamento rápido se inicia, levando a um decréscimo substancial do tempo de vida neste estágio. Francesca D'Antona e Italo Mazzitelli encontraram em 1989 que para um modelo de anã branca com núcleo rico em oxigênio de $0,56~M_\odot$, $\Theta_D /T\sim 2$ quando $\log L/L_\odot \approx -4$. Quando o modelo atinge $\log L/L_\odot \approx -5$, o calor específico é proporcional a $T^3$, como o esfriamento de Debye prediz. Tendo em vista que as anãs brancas de massa normal mais frias observadas têm $\log L/L_\odot \approx -4,5$, elas ainda não são velhas o suficiente para atingir o limite de Debye. Leandro Gabriel Althaus, Alejandro H. Córsico, Jordi Isern & Enrique Garcia-Berro (2010, Astronomy & Astrophysics Review) estimam que o esfriamento de Debye só ocorre para uma anã branca de 0,6 M_⊙ para L=10^-7L_⊙, mas que para uma anã branca de 1,0 M_⊙ já em L=10^-5,1L_⊙.

Don Earl Winget, Kepler de Souza Oliveira Filho, Fabíola Campos, Mike Houston Montgomery, Leo Girardi, Pierre Bergeron & Kurtis Williams (2009, The Physics of Crystallization from Globular Cluster White Dwarf Stars in NGC 6397, Astrophysical Journal Letters, 693, L6) mostraram que o acúmulo de anãs brancas em m_F814W=26.5 demonstra a existência a cristalização e a transição de fase com liberação de calor latente predita por Hugh Van Horn (1968, Astrophysical Journal, 151, 227). A linha pontilhada mostra um modelo em que não há cristalização.

Modelos evolucionários de Matt Wood
Anã Branca com 1,0 M_⊙ e núcleo de C/O, mas com Γ≈180

Tef	Idade	log Pc	log Tc	log $\rho$c	log R	log L/L⊙	log Lneut/L⊙	Mcrist/M*	$\Gamma$
101274 K	245 000 anos	24,597	8,0126	7,4730	8,8369	0,9577	1,9617	0,000	12,6
45973 K	4,12 Manos	24,637	7,8034	7,5020	8,7804	-0,5276	-0,3276	0,000	20,8
23686 K	146 Manos	24,660	7,2794	7,5192	8,7603	-1,7197	-4,3327	0,000	70,4
14849 K	538 Manos	24,665	6,9477	7,5234	8,7529	-2,5458	-6,2979	0,016	151,6
12255 K	1,026 Ganos	24,667	6,8036	7,5246	8,7509	-2,8833	-7,1046	0,396	211,4
10130 K	1,740 Ganos	24,668	6,6585	7,5255	8,7489	-3,2575	-10	0,748	295,5
6627 K	3,908 Ganos	24,669	6,3525	7,5263	8,7458	-3,9616	-10	0,945	598,2
4733 K	6,845 Ganos	24,670	5,8726	7,5265	8,7430	-4,5519	-10	0,970	1806,1
3369 K	7,732 Ganos	24,670	5,4889	7,5266	8,7425	-5,1436	-10	1,000	4369,8

Anã Branca com 0,6 M_⊙, mas com Γ≈180

Tef	Idade	log Pc	log Tc	log $\rho$c	log R	log L/L⊙	log Lneut/L⊙	Mcrist/M*	$\Gamma$
103992 K	18 316 anos	22,829	8,1742	6,2590	9,4167	2,1631	1,8449	0,000	3,4
46281 K	2,65 Manos	23,191	7,8279	6,5050	9,0392	0,0016	0,4282	0,000	9,1
23856 K	29,54 Manos	23,242	7,5792	6,5410	8,9817	-1,2646	-1,5832	0,000	16,7
12114 K	368,44 Manos	23,264	7,0568	6,5569	8,9557	-2,4936	-6,3225	0,000	56,1
10012 K	604,97 Manos	23,267	6,9198	6,5587	8,9513	-2,8335	-10	0	77,1
6647 K	1,767 Ganos	23,270	6,6244	6,5611	8,9426	-3,5622	-10	0,022	152,5
4554 K	6,540 Ganos	23,273	6,1452	6,5629	8,9340	-4,2366	-10	0,933	460,1
4044 K	7,799 Ganos	23,273	5,9823	6,5631	8,9332	-4,4448	-10	1,000	669,8
3304 K	9,373 Ganos	23,273	5,7627	6,5632	8,9324	-4,7976	-10	1,000	1110,6

Don Earl Winget, S.O. Kepler, Fabíola Campos, Michael Houston Montgomery, Leo Girardi, Pierre Bergeron & Kurtis Williams (2009, The Physics of Crystallization from Globular Cluster White Dwarf Stars in NGC 6397, Astrophysical Journal Letters, 693, L6) demonstraram um acúmulo de anãs brancas quando a cristalização libera calor latente.

Didier Saumon, Simon Blouin & Pier-Emmanuel Tremblay (2022, Current challenges in the physics of white dwarf stars, Physics Reports, Volume 988, p. 1) discutem os problemas atuais com a equação de estado, sedimentação, flutuação e cristalização nas anãs brancas. Antoine Bédard, Simon Blouin & Sihao Cheng (2024, Buoyant crystals halt the cooling of white dwarf stars, Nature, 627, 8003, 286) discutem a destilação sólido-líquido de impurezas, como Ne em um líquido de C e O, quando cristais recém formados se deslocam para cima e flutuam, liberando calor latente, retardando significativamente o esfriamento das anãs brancas.

Modelos de 2024 usam Γ=175 e incluem a separação de fase e destilação também do Ne²², necessária para explicar o ramo Q observado no diagrama HR das estrelas com paralaxe medida pelo satélite Gaia.

Evan B. Bauer, Aaron Dotter, Charlie Conroy, Tim Cunningham, Minjung Park & Pier-Emmanuel Tremblay (2025, MESA Isochrones and Stellar Tracks (MIST) III. The White Dwarf Cooling Sequence, arXiv:2509.21717, apresenteam modelos atuais de anãs brancas com núcleo de C/O, [Fe/H]=-4 a [Fe/H]=+0.5, com e sem rotacao. A grade com rotação inicia com v/v_crit=0,4 para massas iniciais acima de 1,8 M_⊙, caindo para zero para modelos com massa menor que 1,2 M_⊙ Devido ao transporte de momentum angular, as anãs brancas produzidas por estes modelos têm período de rotação da várias horas a dias.

Foto de grupo de pesquisadores em anãs brancas: Stéphane Vennes, Steve Kawaler, Didier Saumon, Gilles Fontaine (1948-2019), Hugh M. Van Horn, Francois Wesemael (1956-2011), Don Earl Winget, Butler Hine, Pierre Bergeron, Robert Lamontagne, Chuck Claver, Allen Hill, Matt A. Wood, Theo Koupelis, Pierre Brassard, Austin Tomaney, Kepler, Pierre Chayer & Jean Dupuis, tirada em 1986 em Tucson, Arizona, durante a Second Faint Blue Stars Conference, em homenagens ao sessenta anos de Jesse Leonard Greenstein (1909-2002).

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