Calor Específico dos Elétrons em um gás degenerado

Da definição de pressão e energia, para um gás de férmions temos:

$P = \frac{8\pi}{3h^3}\int_0^\infty \frac{p^3v_pdp}{\exp[(E-E_Fg)/kT]+1}$

$n = \frac{8\pi}{3h^3}\int_0^\infty \frac{p^2dp}{\exp[(E-E_Fg)/kT]+1}$

$E = \frac{8\pi}{3h^3}\int_0^\infty \frac{E_{part}p^2dp}{\exp[(E-E_Fg)/kT]+1}$

e que para um gás não relativístico $E_{part}=\frac{p^2}{2m}$. Definimos

$\alpha\equiv -\frac{E_F}{kT}$

e obtivemos para o caso da degenerescência parcial:

$P_e = \frac{8\pi kT}{3h^3}(2m_ekT)^\frac{3}{2}F_\frac{3}{2}(\alpha)$

$n_e = \frac{4\pi}{h^3}(2m_ekT)^\frac{3}{2}F_\frac{1}{2}(\alpha)$

$E_e = \frac{4\pi kT}{h^3}(2m_ekT)^\frac{3}{2}F_\frac{3}{2}(\alpha)$

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$E_e = \frac{3}{2}P_e$

Como a pressão do gás de elétrons degenerados mas não relativísticos é dada por

e a densidade de elétrons dada por

com a energia de Fermi (sem a massa de repouso) como vimos na equação (efermi/lista 54) dada por

onde

$E_F^0 = (\frac{h^2}{8m})(\frac{3n_e}{\pi})^\frac{2}{3}$

é a energia de Fermi à temperatura zero. Se o gás está degenerado, a energia de Fermi é muito maior do que kT e

$E_F = E_F^0[1-\frac{\pi^2}{12}(\frac{kT}{E_F^0})^2]$

Desta maneira

Expandindo os termos dependentes em temperatura em termos de $(\frac{kT}{E_F^0})^2\ll 1$ obtemos

$E_e=\frac{3}{5}n_eE_F[1+\frac{5\pi^2}{8}(\frac{kT}{E_F^0})^2]$

e obtemos a capacidade térmica total dos elétrons a volume constante

$c_v = (\frac{dE_e}{dT})_V = \frac{\pi^2}{2}\frac{n_ek^2T}{E_F}$

para um gás degenerado mas não relativístico e, portanto, o calor específico por elétron:

Para um gás degenerado e ultra-relativístico,

$c_v = (\frac{dE_e}{dT})_V = 3\pi^2\frac{n_ek^2T}{E_F}$

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