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Curvas de Esfriamento Simples - Mestel

Ressaltamos que o calor específico de um gás de elétrons degenerados é controlado pelos íons, pois os íons têm a maior capacidade térmica no núcleo degenerado, que contém praticamente toda a massa da estrela. Produção de energia por reações nucleares e por contração gravitacional contribuem muito pouco para a luminosidade da estrela, se existem, e o núcleo é basicamente isotérmico devido à alta eficiência da condução térmica pelos elétrons degenerados. Desta maneira, podemos modelar o núcleo como uma simples fonte de calor, com a energia produzida pelo movimento térmico dos íons. Nestas condições, obteremos uma relação do tipo lei de potência entre a idade e a luminosidade da estrela, como encontrada por Leon Mestel (1927-) em 1952:

$t_{esfriar} \propto L^{-5/7}$

Seja $E$ a energia total armazenada pela anã branca; a luminosidade será dada pela razão com que esta energia é irradiada:

$L(t) = - {dE(t) \over dt}$

e define a taxa de esfriamento da anã branca. Esta terminologia foi introduzida pelo reconhecimento que a fonte da energia que é irradiada pela atmosfera da estrela é a energia térmica da estrela ($E_{th}$). Como a maior parte da anã branca é isotérmica, a primeira aproximação é:

$L (t) = - ({dE_{th} \over dT_c}) ({dT_c \over dt}).$

como mostraremos a seguir. Nesta aproximação, os pequenos ajustes da densidade interna devido ao esfriamento são desprezados, já que a energia gravitacional liberada é completamente absorvida pelos elétrons degenerados, que são forçados a níveis de energia mais altos.

Se processos nucleares (boa aproximação) e de emissão de neutrinos (má aproximação) são desprezados, bem como a liberação de energia gravitacional residual ($\partial \rho/\partial t=0$), a luminosidade da anã branca é diretamente proporcional à taxa de decréscimo da temperatura da estrela.

Para um gás de elétrons degenerados mas não relativísticos, a contribuição eletrônica para o calor específico [seção (cve)], por unidade de massa (Z elétrons por AH de massa), derivada por Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) (1939, An Introduction to the Study of Stellar Structure, University of Chicago Press, p. 394), é:

$c_V^{e}={3\over 2} {k\over AH}{\pi^2 \over 3} Z{kT \over E_F},$

onde $H$ é a unidade de massa atômica ($H=1,66 \times 10^{-24} \rm g$), Z é a carga média dos íons e $A$ é o número atômico médio.
Como o gás está altamente degenerado, $kT$ é muito menor do que a energia de Fermi dos elétrons [eq. (1.4)],

$$E_F= {(3\pi^2)^{2/3} \over 2} {\hbar^2 \over m_e} ({\rho \over \mu_e H})^{2/3}$$ (1.80)

e podemos desprezar $c_V^{e}$ em comparação com o calor específico dos íons. Fisicamente, os elétrons não contribuem para o reservatório de energia porque partículas degeneradas já ocupam seu estado de energia mais baixo e, portanto, não podem esfriar. Para um gás (de íons) ideal,

$c_V^{ion} = {3 \over 2} {k \over AH}.$

A equação básica de evolução estelar para a conservação de energia é:

$$L = \int^M_0 (\varepsilon - T {\partial s \over \partial T}) dM_r$$ (1.81)

O termo $T {\partial s \over \partial T}$ representa a troca de calor (perda) por unidade de massa, e $\varepsilon$ é a taxa de geração ou perda de energia por unidade de massa devido a reações nucleares ou emissão de neutrinos, que desprezamos.

A alta degenerescência do núcleo da anã branca produz uma alta eficiência de condução térmica pelos elétrons, tornando o núcleo praticamente isotérmico. Como

$T {\partial s \over \partial t} = c_V {\partial T \over \partial ... ... {\partial P \over \partial T}\bigg\vert_\rho {\partial \rho \over \partial t},$

e desprezamos a variação da densidade, a equação (1.81) pode ser escrita como:

$$L \approx - {3 \over 2} {kM \over AH} {\partial T_c \over \partial t},$$ (1.82)

onde $T_c$ é a temperatura do núcleo.

Para calcular $T_c$ precisamos levar em conta a transferência de energia pelo envelope fino e não degenerado. Se o envelope está em equilíbrio radiativo, e pudermos utilizar a lei de opacidade de Kramers:

$$K = K_o \rho\, T^{-3,5}$$ (1.83)

levando-se conta as equações básicas:

${dM_r \over dr} = 4\pi r^2\rho,$   Continuidade da Massa

${dP \over dr} = -\rho {GM_r \over r^2},$   Equilíbrio Hidrostático

${dT \over dr} = -{3 \over 4ac}{K\rho \over T^3}{L_r \over 4\pi r^2},$   Equilíbrio Radiativo

podemos dividir a equação do equilíbrio radiativo pela equação do equilíbrio hidrostático, obtendo:

${dT \over dP} = {3 \over 4ac}{L_r \over 4\pi GM_r}{K \over T^3}$

Tendo em vista que a base do envelope (He+H) ocorre a aproximadamente 10^-2M_*, podemos aproximar $L_r \simeq L_\star$ e $M_r \simeq M_\star$ no envelope. Usando

$P = {k\over \mu H}\rho T \rightarrow \rho = {\mu H \over k}{P \over T}$

podemos usar a lei de opacidade de Kramers (1.83) para obter:

$T^{7,5}dT = {3 \over 4ac}{L_\star \over 4\pi G M_\star} {K_o\mu H \over k}PdP$

que pode ser integrada usando-se a condição de contorno zero para a superfície ($P=0$ para $T=0$), resultando em:

$${1 \over 8,5} \,T^{8,5} = {3 \over 4ac} K_o\, {\mu H \over k} {L_\star \over 4\pi GM_\star} {1 \over 2} P^2$$ (1.84)

onde $\mu$ é o peso molecular médio no envelope ($\mu=1$ para hidrogênio e 2 para o hélio) e $P$ é a pressão.

Na borda entre o núcleo isotérmico degenerado, a pressão e a temperatura estão relacionados por

$P_{ideal} = {k\over \mu H}\rho T = P_{nr} = \kappa (\frac{\rho}{\mu_e})^{5/3}$

e obtemos

$$\frac{\rho}{\mu_e} = (\frac{kT}{\mu H})^{3/2} (\frac{\mu_e}{\kappa})^{3/2}$$ (1.85)

e

$$P = \kappa^{-\frac{3}{2}}({kT\mu_e \over \mu H})^{5/2}$$ (1.86)

Substituindo a expressão para a pressão dada pela equação (1.86) na equação (1.84), esta se reduz à relação entre a luminosidade e a temperatura:

$$L_\star = {2\over 8,5}{4ac \over 3}{4\pi GM_\star \over K_0} ({\mu H \over k})^4{\kappa^3 \over \mu_e^5} T^{3,5}$$ (1.87)

e de (1.85)

$\rho/\mu_e \simeq 2,4 \times 10^{-8}\, T^{3/2}= (\frac{kT}{\mu H})^{3/2}(\frac{\mu_e}{\kappa})^{3/2}$

podemos simplificar a equação (1.87) para:

$${{L \over L_{\odot}} \simeq 1,7 \times 10^{-3} {M \over M... ... K_o}) {\mu \over \mu_e^2} ({T_c \over 10^7 {\rm K}})^{3,5}}$$ (1.88)

onde $\mu_e = A/Z$ é o peso molecular médio por elétron e $K_0$ é o coeficiente da lei de Kramers (1.83). Esta é a razão que, no diagrama H-R, a sequência de esfriamento das anãs brancas é uma reta (log L ∝ 3,5 log T).

Podemos agora integrar a equação (1.82) diretamente para obter a relação idade-luminosidade:

Esta é a lei de esfriamento de Mestel, na forma apresentada por Hugh M. Van Horn (1938-).

As aproximações usadas para derivar a lei de Mestel foram:

1. - Desprezar fontes e sumidouros de energia (energia nuclear e esfriamento por neutrinos: $\varepsilon=0$),
2. - Desprezar contração gravitacional $(\partial \rho /\partial t = 0)$,
3. - Desprezar a capacidade térmica dos elétrons $(c_V \simeq c_V^{ion})$,
4. - Usar lei do gás perfeito para os íons $(c_V^{ion} \simeq {3\over 2}\,{k\over AH})$,
5. - Assumir que o núcleo é isotérmico $[T(r) \equiv T_c]$,
6. - Assumir equilíbrio radiativo no envelope,
7. - Assumir uma lei de opacidade de Kramers no envelope.

Como a energia média de uma anã branca com $0,4~M_\odot$, ${kT/ E_F} > 0,1$ para $T>2 \times 10^7 K$, não podemos desprezar o efeito de contração gravitacional residual para massas baixas. Também não podemos desprezar a contribuição eletrônica ao calor específico, já que os elétrons podem contribuir com até 30-50% ao calor específico de estrelas quentes, com núcleos de carbono. E não podemos desprezar a perda de energia por neutrinos, que pode ser dominante para T_ef>30000 K, dependendo da massa da estrela.

Resultados mais precisos podem ser obtidos incluindo-se os seguintes processos, desprezados na teoria de Mestel:

• esfriamento por neutrinos ($L_\nu$), importante para $L > 10^{-1,5} L_{\odot}$;
• liberação de calor latente de cristalização, importante para $L < 10^{-4} L_{\odot}$;
• geração de energia nuclear pelo processo próton-próton ($L_{nuclear}$), importante quando $M_H \sim 10^{-4} M_\star$;
• liberação de energia gravitacional para as camadas externas.

Uma fórmula aproximada que inclui estes efeitos é:

A dependência da luminosidade indica que as anãs brancas mais quentes -- e mais luminosas -- esfriam mais rápido. A idade das anãs brancas menos luminosas observadas (com $L = 10^{-4,5}L_\odot$) é cerca de $10^{10}$ anos, comparável com a idade das estrelas mais frias da nossa Galáxia.

Evolução da luminosidade de uma anã branca de 0,6 M_Sol com o tempo, representado pela T_ef, tanto de fótons quanto de neutrinos.

As anãs brancas mais frias também são dominadas pela cristalização do núcleo e possível separação total dos elementos no núcleo, e suas camadas externas, embora de baixa densidade, também se tornam degeneradas.

A idade total de uma anã branca depende não somente de seu esfriamento, mas de quanto tempo levou a progenitora a chegar à fase de anã branca. Nos modelos de Alejandra Romero de 2014, uma progenitora de uma massa solar com z=0,0001, como a dos aglomerados globulares menos metálicos, gera uma anã branca de 0,568 M_Sol em 5,9 Ganos, enquanto uma com z=0,02, solar, gera uma anã branca de 0,511 M_Sol em 12,5 Ganos.

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