Estrelas de Nêutrons

Próxima: Formação Estelar Volta: Equilíbrio Hidrostático na Relatividade Geral Anterior: Schwarzschild

Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Para um gás ideal, isto é, com interações entre as partículas desprezáveis, negligenciando neste momento o tensor eletromagnetico, as únicas componentes não nulas do tensor energia-momentum (1.90) são:

$T_{00}=\rho c^2 \quad\quad T_{11}=T_{22}=T_{33}=P$

A equação de campo de Einstein (1.89) se reduz então a três equações diferenciais ordinárias:

$$\frac{\kappa P}{c^2} = e^{-\lambda}(\frac{\nu^\prime}{r}+ \frac{1}{r^2}) - \frac{1}{r^2}$$ (1.100)

$$\frac{\kappa P}{c^2} = \frac{1}{2}e^{-\lambda}( \nu^{\prime\... ...\frac{\nu^\prime-\lambda^\prime}{r} - \frac{\nu^\prime\lambda^\prime}{2})$$ (1.101)

$$\kappa \rho = e^{-\lambda}(\frac{\lambda^\prime}{r}-\frac{1}{r^2}) + \frac{1}{r^2}$$ (1.102)

onde $\prime$ denota derivada em relação a $r$.

Multiplicando (1.102) por $4\pi r^2$, podemos integrá-la, resultando em:

$$kM_r = 4\pi r (1-e^{-\lambda})$$ (1.103)

onde $M_r$ denota a massa gravitacional dentro de $r$:

$$M_r = \int_0^r 4\pi r^2 \rho dr$$ (1.104)

de modo que para $r=R$, $M_r=M$, a massa gravitacional da estrela. Esta é a massa que um observador distante mede por efeitos gravitacionais, como por exemplo, efeitos orbitais. Ela não é entretanto a massa relacionada com o número de bárions simplesmente, pois contém também toda a energia, dividida por $c^2$. Desta forma

$\rho = \rho_0 + \frac{U}{c^2}$

onde $\rho_0$ é a densidade de massa em repouso, e $U$ a densidade de energia total. Note que embora a equação (1.104) tenha a forma usual da equação de continuidade de massa (1.23), nesta métrica (1.93), o elemento de volume esférico é dado por $e^{\lambda/2}4\pi r^2dr$, e não $4\pi r^2dr$, que é o elemento sobre o qual a equação (1.104) está integrada.

Diferenciando a equação (1.100) em relação a $r$, obtemos $P^\prime$ em função de $(\lambda,\lambda^\prime,\nu^\prime,\nu^{\prime\prime},r)$. Podemos eliminar $\lambda,\lambda^\prime,\nu^\prime,\nu^{\prime\prime}$ utilizando as equações (1.100), (1.101) e (1.102), chegando à equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para o equilíbrio hidrostático na relatividade geral:

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{GM_r}{r^2}\rho (1+\frac{P}{\... ...(1+\frac{4\pi r^3P}{M_rc^2}) (1-\frac{2GM_r}{rc^2})^{-1} }$$ (1.105)

Esta equação, derivada em 1939 por Richard Chase Tolman (1881-1948), Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e George Michael Volkoff (1914-2000), se reverte à forma usual da Equação do Equilíbrio Hidrostático (1.24) para $c^2 arrow \infty$. A expressão relativística para o gradiente de pressão $(dP/e^{\lambda/2}dr)$ é maior do que no caso Newtoniano $(dP/dr)$, de modo que a pressão no interior da estrela aumenta mais rapidamente.

De acordo com George William Collins II (1937-), em The Fundamentals of Stellar Astrophysics, 1989, (New York: Freeman), um modelo simples é $\rho(r)=\rho_0=constante$. A equação da continuidade da massa

torna-se

enquanto a equação de Toman-Oppenheimer-Volkoff

que pode ser integrada. Seja

Podemos reescrever a equação de equilíbrio hidrostático como

com a condição de contorno $y(R)=0$. Com zero para a pressão na superfície, a solução desta equação é

que em termo das variáveis físicas torna-se

De modo que a pressão central pode ser obtida para r=0

Quando a pressão central aumenta, a estrela reduz o raio, refletindo o maior efeito da gravidade, de modo que

onde $R_S$ é o raio de Schwarzschild. Deste modo, o menor raio estável de tal objeto é pouco maior que o raio de Schwarzschild. Entretanto, um limite também pode ser encontrado restringindo a velocidade do som

que nos leva ao limite

Como qualquer equação de estado requer que a densidade decresça para fora e como a causalidade requer que a velocidade do som seja sempre menor que a velocidade da luz, podemos concluir que uma estrela sempre terá $R\geq \frac{4}{3}R_S$. Embora as estrelas de nêutrons tenham raios de cerca de $3R_S$, nelas a relatividade geral é dominante.

Estrelas de Nêutrons

A verdadeira equação de estado das estrelas de nêutrons ainda não é conhecida, já que não sabemos como descrever a força forte, mas Edwin Salpeter (1925-2008) (1961, Astrophysical Journal, 134, 669) mostrou que, para um gás de elétrons e núcleos atômicos de peso atômico A e carga Z, com $\mu_{o}^{}$ = A/Z, incluindo os efeitos Coulombianos da rede de íons, as correções de Thomas-Fermi [Llewellyn H. Thomas (1903-1992) The calculation of atomic fields, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 23, 542-548, 1927; Enrico Fermi (1901-1954). Un metodo statistice per la determinazione di alcune proprieta del l'atomo. Rendiconti Accademia Nazionale dei Lincei, 6, 602-607, 1927] para a não uniformidade da distribuição de elétrons (escudamento eletrônico), energia de troca e interações spin-spin dos elétrons, podemos escrever a equação de forma paramétrica como

onde

e $\hat{p}$ é o momentum de Fermi máximo que pode depender fracamente da temperatura. Se incluímos a perda de energia por neutrinos devido ao decaimento $\beta$ inverso, existe um máximo local em cerca de uma massa solar. Modificações mais recentes à equação de estado mostram um segundo máximo logo acima de duas massas solares e considerações de causalidade colocam um máximo absoluto em cerca de 5 massas solares.

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e Robert F. Tooper (1964, Astrophysical Journal, 183, 941) demontraram que as anãs brancas colapsam por efeitos da relatividade geral com 98% da massa de Chandrasekhar. Para as estrelas de nêutrons, a relatividade geral causa o colapso muito antes de toda a estrela tornar-se relativisticamente degenerada.

Nas estrelas de nêutrons, os elétrons degenerados têm energia suficiente para induzir o decaimento $\beta$ inverso, isto é, colidir com um próton formando um nêutron. O subsequente decaimento $\beta$ não é possível porque implicaria na emissão de um próton e um elétron de menor energia e, portanto, em um estado já completamente ocupado.

Desta maneira prótons são convertidos em nêutrons, formando núcleos ricos em nêutrons. Neste caso, a repulsão coulombiana é reduzida e núcleos mais pesados que o ⁵⁶Fe são formados.

Podemos estimar a densidade média de uma estrela de nêutrons, considerando que a massa média é de 1,4 $M_\odot$ e raio de 10 km

Para densidades até $10^{14}~{kg m^{-3}$, ⁷⁶Fe e ⁷⁸Ni são os núcleos mais estáveis. Acima de $4\times 10^{14}~{kg m^{-3}$, o fenômeno de escorrimento de nêutrons (neutron drip) acontece, de modo que nêutrons livres, núcleos e elétrons coexistem em equilíbrio. A equação de estado desta matéria é bem conhecida para densidades abaixo da densidade da matéria nuclear normal,

Para densidades superiores, os núcleos começam a se unir, formando um denso gás de elétrons, prótons e nêutrons. A equação de estado depende então fortemente da interação entre os núcleons, ainda incerta. Para densidades de $10^{18}~kg m^{-3}$, píons, múons e híperons são energeticamente possíveis, e acima disto, os quarks tornam-se importantes. A coexistência em equilíbrio de nêutrons, prótons e elétrons, para temperatura desprezável, é caracterizada por

já que o potential químico de um gás de Fermi à temperatura desprezável é a energia de Fermi. Os neutrinos das reações

   e

não afetam o potencial químico porque escapam. Como a relação entre o momentum de Fermi e a densidade, é dada por

e para densidades da ordem da nuclear os prótons e nêutrons são não relativísticos,

Entretanto, os elétrons, menos massivos, são ultra-relativísticos

Tendo em vista que a matéria é neutra, $n_e=n_p$, de modo que

Dado que a diferença de massa entre prótons e nêutrons é 1,3 MeV/$c^2$, podemos calcular o número relativo de nêutrons e prótons em qualquer densidade. Por exemplo, a uma densidade de $\rho=2\times 10^{17} kg m^{-3}$, encontramos $n_n \simeq 10^{44} m^{-3}$, $n_e\simeq n_p \simeq n_n/200$, isto é, 1 elétron para cada 200 nêutrons, ou seja, os nêutrons são dominantes.

Para estrelas de nêutron, as densidades são maiores que as da matéria nuclear. Neste caso, a Energia de Fermi é da ordem de $E_F \simeq 30$ MeV, correspondendo a $T=E_F/k\simeq 3\times 10^{11}$ K. Portanto a energia cinética devido a degenerescência é a principal contribuição à pressão, com correções substanciais devido às forças nucleares. A agitação térmica é desprezável, já que a emissão de neutrinos no colapso para estrela de nêutrons esfria o núcleo para $T\ll~3\times~10^{11}$ K em poucos segundos. O processo mais eficiente de formação de neutrinos é o processo URCA ($n\rightarrow p+e+\nu$ e $p+e\rightarrow n+\nu$), e Urca modificado ($n+n\rightarrow n+p+e+\nu$ e $n+p+e\rightarrow n+n+\nu$), que é proporcial a T⁸, esfriando a estrela rapidamente para T<10⁹K. Após algo entre 10 a 10 000 anos, o processo URCA torna-se ineficiente, e esfriamento por bremsstrahlung de pares de neutrinos e mais tarde por emissão térmica de fótons esfria a estrela e leva a uma temperatura superficial de alguns milhões de Kelvin. Mas se o núcleo não for composto por matéria normal, o esfriamento pode ser mais complicado.

A escala de tempo da interação fraca é de $\tau$ _fraca $\simeq$ 10^-10 s. Por causa da alta densidade de matéria nas estrelas de nêutrons e do fato dos bárions obedecerem ao princípio de Pauli, é energeticamente favorável aos nucleons no topo do mar de Fermi em transformar-se em outros bárions, inclusive os estranhos (híperons) para baixar as energias de Fermi. A transformação não viola a conservação de estranheza das forças fortes porque esta conservação se dá somente nas escalas de tempo das interações fortes, não das fracas. Mesmo no colapso de uma supernova, a escala de tempo é muito longa em comparação com a escala da interação fraca, e a conservação de estranheza pode ser violada.

Desta forma, estranheza não é conservada em objetos astrofísicos. Nos núcleos atômicos estáveis, a massa dos híperons é maior do que a energia de Fermi, de modo que não é energeticamente favorável a transformação em híperons. As reações nucleares são tão rápidas $\tau$ $\simeq$ 10^-22 s, que a estranheza é conservada nesta escala de tempo. Desta forma, embora a matéria nuclear normal tenha estranheza líquida zero, as estrelas de nêutrons podem ter, e quase certamente têm, híperons e ter estranheza líquida não nula. (Norman K. Glendenning, 1997, Compact Stars, Springer: New York.)

A primeira derivação do colapso de uma estrela para o estágio de buraco negro foi publicada por Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e Hartland Snyder em 1939, no Physical Review, 56, demonstrando que o último estágio do colapso é um buraco negro, e que a estrela corta qualquer comunicação com o exterior. Em 1974 o físico inglês Stephen W. Hawking (1942-) demonstra que os efeitos de tunelamento quântico levam à evaporação de qualquer buraco negro, em escalas de tempo suficientemente grandes. Para um tratamento adequado do assunto, veja o livro Compact Stars, do físico Norman K. Glendenning, publicado pela Springer em 1997, ou as notas de Edward Lewis Robinson (1945-), Black Holes, que deduz o espaço-tempo de Kerr [Roy P. Kerr (1934-)] fora de um buraco negro em rotação, publicado em 1963 no artigo "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics", no Physics Review Letters, 11, 237, em coordenadas de Boyer-Lindquist [Robert H. Boyer e Richard W. Lindquist, "Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric", Journal Mathematical Physics, 8, 265, 1967], uma generalização da métrica de Schwarzschild.

$ds^2 = c^2d\tau^2$ $=$ $c^2\left(1-\frac{2GMr}{c^2\Sigma}\right)dt^2 +\frac{4aGMr{\mathrm{sen}}^2\theta}{c^2\Sigma}c\,dt\,d\phi\ -$

         (Kerr)

com as escalas de distância

$a\equiv \frac{J}{cM}$

a escala do momentum angular por unidade de massa, sendo J o momentum angular total,

$\Delta\equiv r^2 - 2GMr/c^2 + a^2$

$\Sigma=r^2 + a^2 \cos^2 \theta$

A métrica de Kerr tende à métrica de Schwarzschild quando o momentum angular a se aproxima de zero. O horizonte de eventos ocorre em um anel com Δ=r²-2GMr/c²+a²=0.

O pulsar PSR J1748-2446 tem um período de rotação de 1,39 ms. O tensor energia-momentum consiste do tensor do gás ideal adicionado ao tensor eletromagnetico.

Modelos Atmosféricos de Estrelas de Nêutrons, calculados por George Pavlov, Yura Shibanov e Vyacheslav Zavlin, do Ioffe Physical Technical Institute em St. Petersburg, Russia.

Estruturas possíveis de uma estrela de nêutrons, de acordo com Fridolin Weber, Rodrigo Negreiros, Philip Rosenfield e Andreu Torres i Cuadrat, 2007, AIPC, 892, 515.

Frederick M. Walter et al. 2010, Astrophysical Journal, 724, 669 confirmou a medida de raio da estrela de nêutrons sem emissão de rádio RXJ1856-3754, com V=25,7, obtida por Joachim E. Trümper et al. 2004 (Nuclear Physics Supplement, 132, 560) com maior precisão, R=16,8±1,3 km, através da medida de sua luminosidade com imagens do Telescópio Espacial Hubble, da distância de 123±13 pc, e de sua temperatura pelo espéctro (puramente de corpo negro) obtido com o Chandra.

Kuantay Boshkayev, Jorge A. Rueda, Remo Ruffini & Ivan Siutsou, em seu artigo On General Relativistic Uniformly Rotating White Dwarfs, publicado em 2013 no Astrophysical Journal, 762, 117, calcularam o limite de 1,467 M_Sol e período de rotação máximo de 0,7 s, para uma anã branca de oxigênio.
Pablo Marchant, Andreas Reisenegger, Juan Alejandro Valdivia & Jaime H. Hoys, no artigo de 2014 Stability of Hall Equilibria in Neutron Stars, arXiv 1410.5833v1, explicam que na crosta das estrelas de nêutrons, os íons estão presos numa estrutura cristalina, e somente os elétrons estão livres. Eles estudam o efeito da estrutura do campo magnético na dissipação deste por oscilações amortecidas, devido ao efeito Hall, descoberto em 1879 por Edwin Herbert Hall (1855-1938), em que cargas elétricas movendo-se em um campo magnético perpendicular à corrente se curvam devido à força de Lorentz, acumulando-se na superfície e gerando um campo elétrico que se opõe ao movimento, e devido ao efeito Ohmico, de perda de energia pela resistência do material.
Sebastien Guillot e Robert E. Rutledge, astroph 1409.4306v1, assumem que todas as estrelas de nêutrons dentro de binárias de baixa massa quiecentes em raio-X (qLMXBs) têm o mesmo raio, e ajustam o espectro térmico observado com um modelo com atmosfera de hidrogênio em seis sistemas pertencentes a aglomerados globulares galácticos, obtendo R_EN=9.4±1,2 km, o que os leva a restringir várias equações de estado para a matéria nuclear.

A espessura da atmosfera da estrela de nêutrons pode ser estimada utilizando n(z)=n₀e^-z/H, com a escala de altura H=kT/mg, já que a há equilíbrio entre a força gravitacional e a pressão, kT. A escala de altura resultante é de apenas 0,13 cm, comparada com 8 km para a atmosfera da Terra. A densidade na atmosfera da estrela de nêutrons é 3,5 g/cm³, o que corresponde a carbono cristalino, de modo que a equação de estado não é de gás ideal.

Lukas R. Weih, Elias R. Most & Luciano Rezzolla, no artigo On the stability and maximum mass of differentially rotating relativistic stars, 2017, arXiv:1709.06058, obtiveram M^max = (1,54 ± 0,05) M_TOV, para todas as equações de estado que supuseram.

Equação de Estado para o interior de estrelas de nêutrons, calculada por Alexander Yurievich Potekhin, do IOFFE.
Emanuele Berti, 2014, A Black Hole Primer

Próxima: Formação Estelar Volta: Equilíbrio Hidrostático na Relatividade Geral Anterior: Schwarzschild