Estrelas de Nêutrons

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Tolman-Oppenheimer-Volkoff

Para um gás ideal, isto é, com interações entre as partículas desprezáveis, negligenciando neste momento o tensor eletromagnetico, as únicas componentes não nulas do tensor energia-momentum (1.90) são:

$T_{00}=\rho c^2 \quad\quad T_{11}=T_{22}=T_{33}=P$

A equação de campo de Einstein (1.89) se reduz então a três equações diferenciais ordinárias:

$$\frac{\kappa P}{c^2} = e^{-\lambda}(\frac{\nu^\prime}{r}+ \frac{1}{r^2}) - \frac{1}{r^2}$$ (1.100)

$$\frac{\kappa P}{c^2} = \frac{1}{2}e^{-\lambda}( \nu^{\prime\... ...\frac{\nu^\prime-\lambda^\prime}{r} - \frac{\nu^\prime\lambda^\prime}{2})$$ (1.101)

$$\kappa \rho = e^{-\lambda}(\frac{\lambda^\prime}{r}-\frac{1}{r^2}) + \frac{1}{r^2}$$ (1.102)

onde $\prime$ denota derivada em relação a $r$.

Multiplicando (1.102) por $4\pi r^2$, podemos integrá-la, resultando em:

$$kM_r = 4\pi r (1-e^{-\lambda})$$ (1.103)

onde $M_r$ denota a massa gravitacional dentro de $r$:

$$M_r = \int_0^r 4\pi r^2 \rho dr$$ (1.104)

de modo que para $r=R$, $M_r=M$, a massa gravitacional da estrela. Esta é a massa que um observador distante mede por efeitos gravitacionais, como por exemplo, efeitos orbitais. Ela não é entretanto a massa relacionada com o número de bárions simplesmente, pois contém também toda a energia, dividida por $c^2$. Desta forma

$\rho = \rho_0 + \frac{U}{c^2}$

onde $\rho_0$ é a densidade de massa em repouso, e $U$ a densidade de energia total. Note que embora a equação (1.104) tenha a forma usual da equação de continuidade de massa (1.23), nesta métrica (1.93), o elemento de volume esférico é dado por $e^{\lambda/2}4\pi r^2dr$, e não $4\pi r^2dr$, que é o elemento sobre o qual a equação (1.104) está integrada.

Diferenciando a equação (1.100) em relação a $r$, obtemos $P^\prime$ em função de $(\lambda,\lambda^\prime,\nu^\prime,\nu^{\prime\prime},r)$. Podemos eliminar $\lambda,\lambda^\prime,\nu^\prime,\nu^{\prime\prime}$ utilizando as equações (1.100), (1.101) e (1.102), chegando à equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para o equilíbrio hidrostático na relatividade geral:

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{GM_r}{r^2}\rho (1+\frac{P}{\... ...(1+\frac{4\pi r^3P}{M_rc^2}) (1-\frac{2GM_r}{rc^2})^{-1} }$$ (1.105)

Esta equação, derivada em 1939 por Richard Chase Tolman (1881-1948), Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e George Michael Volkoff (1914-2000), se reverte à forma usual da Equação do Equilíbrio Hidrostático (1.24) para $c^2 arrow \infty$. A expressão relativística para o gradiente de pressão $(dP/e^{\lambda/2}dr)$ é maior do que no caso Newtoniano $(dP/dr)$, de modo que a pressão no interior da estrela aumenta mais rapidamente.

De acordo com George William Collins II (1937-), em The Fundamentals of Stellar Astrophysics, 1989, (New York: Freeman), um modelo simples é $\rho(r)=\rho_0=constante$. A equação da continuidade da massa

torna-se

enquanto a equação de Toman-Oppenheimer-Volkoff

que pode ser integrada. Seja

Podemos reescrever a equação de equilíbrio hidrostático como

com a condição de contorno $y(R)=0$. Com zero para a pressão na superfície, a solução desta equação é

que em termo das variáveis físicas torna-se

De modo que a pressão central pode ser obtida para r=0

Quando a pressão central aumenta, a estrela reduz o raio, refletindo o maior efeito da gravidade, de modo que

onde $R_S$ é o raio de Schwarzschild. Deste modo, o menor raio estável de tal objeto é pouco maior que o raio de Schwarzschild. Entretanto, um limite também pode ser encontrado restringindo a velocidade do som

que nos leva ao limite

Como qualquer equação de estado requer que a densidade decresça para fora e como a causalidade requer que a velocidade do som seja sempre menor que a velocidade da luz, podemos concluir que uma estrela sempre terá $R\geq \frac{4}{3}R_S$. Embora as estrelas de nêutrons tenham raios de cerca de $3R_S$, nelas a relatividade geral é dominante.

Estrelas de Nêutrons

A verdadeira equação de estado das estrelas de nêutrons ainda não é conhecida, já que não sabemos como descrever a força forte, mas Edwin Salpeter (1925-2008) (1961, Astrophysical Journal, 134, 669) mostrou que, para um gás de elétrons e núcleos atômicos de peso atômico A e carga Z, com $\mu_{o}^{}$ = A/Z, incluindo os efeitos Coulombianos da rede de íons, as correções de Thomas-Fermi [Llewellyn H. Thomas (1903-1992) The calculation of atomic fields, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 23, 542-548, 1927; Enrico Fermi (1901-1954). Un metodo statistice per la determinazione di alcune proprieta del l'atomo. Rendiconti Accademia Nazionale dei Lincei, 6, 602-607, 1927] para a não uniformidade da distribuição de elétrons (escudamento eletrônico), energia de troca e interações spin-spin dos elétrons, podemos escrever a equação de forma paramétrica como

onde

e $\hat{p}$ é o momentum de Fermi máximo que pode depender fracamente da temperatura. Se incluímos a perda de energia por neutrinos devido ao decaimento $\beta$ inverso, existe um máximo local em cerca de uma massa solar. Modificações mais recentes à equação de estado mostram um segundo máximo logo acima de duas massas solares e considerações de causalidade colocam um máximo absoluto em cerca de 5 massas solares.

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e Robert F. Tooper (1964, Astrophysical Journal, 183, 941) demontraram que as anãs brancas colapsam por efeitos da relatividade geral com 98% da massa de Chandrasekhar. Para as estrelas de nêutrons, a relatividade geral causa o colapso muito antes de toda a estrela tornar-se relativisticamente degenerada.

Nas estrelas de nêutrons, os elétrons degenerados têm energia suficiente para induzir o decaimento $\beta$ inverso, isto é, colidir com um próton formando um nêutron. O subsequente decaimento $\beta$ não é possível porque implicaria na emissão de um próton e um elétron de menor energia e, portanto, em um estado já completamente ocupado.

Desta maneira prótons são convertidos em nêutrons, formando núcleos ricos em nêutrons. Neste caso, a repulsão coulombiana é reduzida e núcleos mais pesados que o ⁵⁶Fe são formados.

Podemos estimar a densidade média de uma estrela de nêutrons, considerando que a massa média é de 1,4 $M_\odot$ e raio de 10 km

Para densidades até $10^{14}~{kg m^{-3}$, ⁷⁶Fe e ⁷⁸Ni são os núcleos mais estáveis. Acima de $4\times 10^{14}~{kg m^{-3}$, o fenômeno de escorrimento de nêutrons (neutron drip) acontece, de modo que nêutrons livres, núcleos e elétrons coexistem em equilíbrio. A equação de estado desta matéria é bem conhecida para densidades abaixo da densidade da matéria nuclear normal,

Para densidades superiores, os núcleos começam a se unir, formando um denso gás de elétrons, prótons e nêutrons. A equação de estado depende então fortemente da interação entre os núcleons, ainda incerta. Para densidades de $10^{18}~kg m^{-3}$, píons, múons e híperons são energeticamente possíveis, e acima disto, os quarks tornam-se importantes. A coexistência em equilíbrio de nêutrons, prótons e elétrons, para temperatura desprezável, é caracterizada por

já que o potential químico de um gás de Fermi à temperatura desprezável é a energia de Fermi. Os neutrinos das reações

   e

não afetam o potencial químico porque escapam. Como a relação entre o momentum de Fermi e a densidade, é dada por

e para densidades da ordem da nuclear os prótons e nêutrons são não relativísticos,

Entretanto, os elétrons, menos massivos, são ultra-relativísticos

Tendo em vista que a matéria é neutra, $n_e=n_p$, de modo que

Dado que a diferença de massa entre prótons e nêutrons é 1,3 MeV/$c^2$, podemos calcular o número relativo de nêutrons e prótons em qualquer densidade. Por exemplo, a uma densidade de $\rho=2\times 10^{17} kg m^{-3}$, encontramos $n_n \simeq 10^{44} m^{-3}$, $n_e\simeq n_p \simeq n_n/200$, isto é, 1 elétron para cada 200 nêutrons, ou seja, os nêutrons são dominantes.

Para estrelas de nêutron, as densidades são maiores que as da matéria nuclear. Neste caso, a Energia de Fermi é da ordem de $E_F \simeq 30$ MeV, correspondendo a $T=E_F/k\simeq 3\times 10^{11}$ K. Portanto a energia cinética devido a degenerescência é a principal contribuição à pressão, com correções substanciais devido às forças nucleares. A agitação térmica é desprezável, já que a emissão de neutrinos no colapso para estrela de nêutrons esfria o núcleo para $T\ll~3\times~10^{11}$ K em poucos segundos. O processo mais eficiente de formação de neutrinos é o processo URCA ($n\rightarrow p+e+\nu$ e $p+e\rightarrow n+\nu$), e Urca modificado ($n+n\rightarrow n+p+e+\nu$ e $n+p+e\rightarrow n+n+\nu$), que é proporcial a T⁸, esfriando a estrela rapidamente para T<10⁹K. Após algo entre 10 a 10 000 anos, o processo URCA torna-se ineficiente, e esfriamento por bremsstrahlung de pares de neutrinos e mais tarde por emissão térmica de fótons esfria a estrela e leva a uma temperatura superficial de alguns milhões de Kelvin. Mas se o núcleo não for composto por matéria normal, o esfriamento pode ser mais complicado.

A escala de tempo da interação fraca é de $\tau$ _fraca $\simeq$ 10^-10 s. Por causa da alta densidade de matéria nas estrelas de nêutrons e do fato dos bárions obedecerem ao princípio de Pauli, é energeticamente favorável aos nucleons no topo do mar de Fermi em transformar-se em outros bárions, inclusive os estranhos (híperons) para baixar as energias de Fermi. A transformação não viola a conservação de estranheza das forças fortes porque esta conservação se dá somente nas escalas de tempo das interações fortes, não das fracas. Mesmo no colapso de uma supernova, a escala de tempo é muito longa em comparação com a escala da interação fraca, e a conservação de estranheza pode ser violada.

Desta forma, estranheza não é conservada em objetos astrofísicos. Nos núcleos atômicos estáveis, a massa dos híperons é maior do que a energia de Fermi, de modo que não é energeticamente favorável a transformação em híperons. As reações nucleares são tão rápidas $\tau$ $\simeq$ 10^-22 s, que a estranheza é conservada nesta escala de tempo. Desta forma, embora a matéria nuclear normal tenha estranheza líquida zero, as estrelas de nêutrons podem ter, e quase certamente têm, híperons e ter estranheza líquida não nula. (Norman K. Glendenning, 1997, Compact Stars, Springer: New York.)

A primeira derivação do colapso de uma estrela para o estágio de buraco negro foi publicada por Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e Hartland Snyder em 1939, no Physical Review, 56, demonstrando que o último estágio do colapso é um buraco negro, e que a estrela corta qualquer comunicação com o exterior. Em 1974 o físico inglês Stephen W. Hawking (1942-) demonstra que os efeitos de tunelamento quântico levam à evaporação de qualquer buraco negro, em escalas de tempo suficientemente grandes. Para um tratamento adequado do assunto, veja o livro Compact Stars, do físico Norman K. Glendenning, publicado pela Springer em 1997, ou as notas de Edward Lewis Robinson (1945-), Black Holes, que deduz o espaço-tempo de Kerr [Roy P. Kerr (1934-)] fora de um buraco negro em rotação, publicado em 1963 no artigo "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics", no Physics Review Letters, 11, 237, em coordenadas de Boyer-Lindquist [Robert H. Boyer e Richard W. Lindquist, "Maximal Analytic Extension of the Kerr Metric", Journal Mathematical Physics, 8, 265, 1967], uma generalização da métrica de Schwarzschild.

$ds^2 = c^2d\tau^2$ $=$ $c^2\left(1-\frac{2GMr}{c^2\Sigma}\right)dt^2 +\frac{4aGMr{\mathrm{sen}}^2\theta}{c^2\Sigma}c\,dt\,d\phi\ -$

         (Kerr)

com as escalas de distância

$a\equiv \frac{J}{cM}$

a escala do momentum angular por unidade de massa, sendo J o momentum angular total,

$\Delta\equiv r^2 - 2GMr/c^2 + a^2$

$\Sigma=r^2 + a^2 \cos^2 \theta$

A métrica de Kerr tende à métrica de Schwarzschild quando o momentum angular a se aproxima de zero. O horizonte de eventos ocorre em um anel com Δ=r²-2GMr/c²+a²=0.

O pulsar PSR J1748-2446 tem um período de rotação de 1,39 ms. O tensor energia-momentum consiste do tensor do gás ideal adicionado ao tensor eletromagnetico.

Modelos Atmosféricos de Estrelas de Nêutrons, calculados por George Pavlov, Yura Shibanov e Vyacheslav Zavlin, do Ioffe Physical Technical Institute em St. Petersburg, Russia.

Equação de Estado para o interior de estrelas de nêutrons, calculada por Alexander Yurievich Potekhin, do IOFFE.

Estruturas possíveis de uma estrela de nêutrons, de acordo com Fridolin Weber, Rodrigo Negreiros, Philip Rosenfield e Andreu Torres i Cuadrat, 2007, AIPC, 892, 515.

Frederick M. Walter et al. 2010, Astrophysical Journal, 724, 669 confirmou a medida de raio da estrela de nêutrons sem emissão de rádio RXJ1856-3754, com V=25,7, obtida por Joachim E. Trümper et al. 2004 (Nuclear Physics Supplement, 132, 560) com maior precisão, R=16,8±1,3 km, através da medida de sua luminosidade com imagens do Telescópio Espacial Hubble, da distância de 123±13 pc, e de sua temperatura pelo espéctro (puramente de corpo negro) obtido com o Chandra.

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