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Estrelas Binárias

Um grande número de estrelas está em sistemas binários e múltiplos, e sua evolução depende não somente da massa da estrela mas também da separação entre elas. Se as estrelas estão separadas mais do que 10× o raio que terão quando supergigantes, suas evoluções são como as de estrelas não binárias. Para distâncias menores, existe interação entre as estrelas que afeta sua evolução.

Consideremos duas estrelas de massa M₁ e M₂ separadas por uma distância a orbitando o centro de massa do sistema. No sistema de referência em rotação com o sistema binário, o movimento de uma partícula de massa m é dado pela relação:

$$m\frac{d^2r}{dt^2} = \vec{F_1} + \vec{F_2} -m\vec{w} \times (\vec{w}\times \vec{r}) -2m (\vec{w} \times \frac{d\vec{r}}{dt})$$ (1.126)

onde $\vec{F_1}$ e $\vec{F_2}$ são as forças gravitacionais sobre m causadas pelas estrelas de massas $M_1$ e $M_2$, e os dois últimos termos na equação (1.126) representam a força centrífuga e a força de Coriolis [Gustav-Gaspard Coriolis (1792-1843)]. A origem do sistema em rotação é o centro de massa do sistema e $\vec{w}$ é a velocidade orbital angular do sistema, apontando na direção do eixo z.

A força centrífuga pode ser derivada do potencial

$V_c = -\frac{1}{2}mw^2(x^2 + y^2) = \frac{Gm(M_1+M_2)(x^2+y^2)}{2a^3}$

Como a força de Coriolis é perpendicular à direção de movimento, ela não pode realizar trabalho sobre a massa pontual m.

Se m está no plano (x,y), sua energia é dada por

$E = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + V(x,y,0),$

e

$$V(x,y,0) = - \frac{GmM_1}{[(x-x_1^2)^2+y^2]^{1/2}} - \frac{GmM_2}{[(x-x_2^2)^2+y^2]^{1/2}} -$$

$$- \frac{Gm(M_1+M_2)(x^2+y^2)}{2a^3}$$

O potencial V(x,y,0) tem máximos em três pontos críticos que são chamados de pontos Lagrangianos no eixo x, e dois no eixo y. Como são pontos de máximos, podem ser calculados calculando-se dV/dx=0 e dV/dy=0.

Equipotenciais de um sistema binário de massas similares, mostrando os 5 pontos lagrangianos: L₁ a L₅. A equipotencial que passa por L₁ chama-se Lóbulo de Roche e, quando uma estrela se expande até essa equipotencial, transfere massa para a companheira.

A teoria dos pontos Lagrangianos foi desenvolvida em 1772 pelo matemático francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813). O ponto Lagrangiano L₁, localizado no eixo x, entre as duas estrelas, é de particular importância porque se uma das estrelas se expande suficientemente tal que parte de sua superfície atinge o ponto $L_1$, ocorrerá transferência de massa entre as estrelas. A curva equipotencial que inclui o ponto $L_1$ é chamada de lóbulo de Roche [Edouard Roche (1820-1883)]. As equipotenciais próximas de $M_1$ e $M_2$ são quase esféricas em torno das estrelas individuais, enquanto que as equipotenciais externas ao lóbulo de Roche envolvem as duas estrelas.

Equipotenciais de um sistema binário de massas diferentes.

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Astronomia e Astrofísica