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Degenerescência dos Elétrons

O princípio da incerteza de Werner Karl Heisenberg (1901-1976),

${\Delta p \times \Delta r \geq h}\quad {\Delta E \times \Delta t \geq \hbar}$

acoplado ao princípio da exclusão de Wolfgang Pauli (1900-1958), que diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, força os elétrons a altos níveis de energia e, portanto, altas velocidades.

Matéria normal: $E_{térmica} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}kT$
Matéria degenerada: $v=\frac{h}{m\Delta r}$

Por exemplo, para um elétron com Δr=10^-11m, v=73 mil km/s, enquanto que v_térmica (T=100 milhões K)= 68 mil km/s.

Distribuição de energia de Fermi-Dirac para uma temperatura finita (linha pontilhada), e para temperatura zero (linha contínua). Para temperatura zero, equivalente a um gás totalmente degenerado, nenhuma partícula tem energia superior à energia de Fermi ($E_F$).

Lembrando que a energia de Fermi é diretamente ligada ao momentum devido ao princípio da incerteza, para um mesmo volume todos os férmions terão o mesmo momentum. Como a energia associada a este momentum p é dada por E=p²/2m, no caso não relativístico, onde m é a massa da partícula, os prótons e nêutrons, por terem massa cerca de 2000 vezes maior do que a dos elétrons, têm energia de Fermi 2000 vezes menor e, portanto, precisam estar em um volume 2000 vezes menor que para os elétrons, para estarem degenerados.

No interior dos planetas gigantes e estrelas evoluídas, os elétrons estão degenerados, mas os prótons e nêutrons não. Nas estrelas de nêutrons, com raio cerca de 1000 vezes menor que o das anãs brancas, os nêutrons estão degenerados, e as derivações a seguir se aplicam, substituindo-se elétrons por nêutrons.

Como os elétrons são partículas de spin semi-inteiro, um gás de elétrons obedece a estatística de Fermi-Dirac. A densidade de elétrons com momentum $\vert\vec{p}\vert=p$ no intervalo $p$ e $p+dp$ é dada pela equação (1.2):

onde definimos o índice de ocupação para um gás de Fermi como

O fato de $P(p)$ ter valor máximo de um é uma expressão do princípio de exclusão de Pauli. Quando $P(p)$ é unitário, todos os níveis de energia do gás estão ocupados. Portanto, a máxima densidade de elétrons, no espaço de fase, é

É esta restrição na densidade de elétrons no espaço de momentum que cria a pressão de degenerescência. Se aumentamos continuamente a densidade de elétrons, os elétrons são forçados a um estado de maior momentum e, portanto, maior pressão, simplesmente porque todos estados de momentum mais baixo já estão ocupados.

Para qualquer temperatura e densidade de elétrons $n_e$, o valor da Energia de Fermi ($E_F$) é determinado pela integral

Se $E_F$ for um número grande e negativo, $P(p)$ será menor do que um para todas as energias, e a distribuição de Fermi-Dirac se reduz a uma distribuição Maxwelliana. Conforme a densidade for aumentando, para uma temperatura constante, a energia de Fermi se torna primeiro pequena, cruzando zero e chegando a grandes valores positivos, em altas densidades. Se a energia de Fermi for muito maior do que $kT$, a distribuição será uma função degrau, e chamamos este limite de degenerescência total.

• Degenerescência Total
• Degenerescência Total Não-Relativística
• Degenerescência Total Relativística

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Astronomia e Astrofísica